ana3-source/0000755000175000017500000000000010377450216013017 5ustar andreasandreasana3-source/ana3.tex0000644000175000017500000000140310377450216014361 0ustar andreasandreas% ----------------------------------------------------------------------------- % Analysis 3 Aufschrieb % ----------------------------------------------------------------------------- % Andreas Kloeckner / WS99 % ----------------------------------------------------------------------------- \input aufschrieb \input math \begin{document} \mathtitle{Analysis III}{ Ein Aufschrieb der Vorlesung {\sl Analysis III} an der Uni Karlsruhe im Wintersemester 1999/00, gelesen von Priv.-Doz.~Dr.~G. Herzog. \vskip0.4cm \aufschriebblurb \vskip0.4cm \LaTeX-Lauf am \today. ``Nach der Klausur''-Edition, so wenige Fehler wie noch nie! } \aufschriebbody{ \input ana3_1_10 \input ana3_11_20 }{ \input ana3_tricks \input ana3_uebung } \end{document} ana3-source/ana3_1_10.tex0000644000175000017500000012425010377450216015107 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Integrals"atze} % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Sei z.B. $f\in\SetCont^1([a,b],\SetR)$. Dann gilt \[f(b)-f(a)=\int_a^b f'(x)dx \] Ziel ist es, dieses eindimensionale Ergebnis ins mehrdimensionale zu "ubertragen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Sei $D\subseteq\SetR^p$ offen, $f\in\SetCont^1(D,\SetR^p)$, $f=(f_1,\ldots,f_p)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Divergenz:{ F"ur eine Funktion $f\in\SetCont^1(\SetR^k,\SetR^p)$ wird die Divergenz $\div f$ wie folgt festgelegt: \[\div f:=D_1f_1+\ldots+D_pf_p \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Rotation:{ F"ur eine Funktion $f\in\SetCont^1(\SetR^k,\SetR^3)$ wird die Rotation $\rot f$ wie folgt festgelegt: \[\rot f:=\begin{pmatrix} D_2f_3-D_3f_2 \\ D_3f_1-D_1f_3 \\ D_1f_2-D_2f_1 \end{pmatrix} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der zweidimensionale Integralsatz von Gau"s} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Zul"assigkeit:{ Sei $(x_0,y_0)\in\SetR^2$ fest und $R:[0,2\pi]\to(0,\infty)$ st"uckweise stetig db mit $R(0)=R(2\pi)$. Der Weg $\gamma:[0,2\pi]\to\SetR^2$ sei gegeben durch \[\gamma(t)=\begin{pmatrix} \gamma_1(t)\\ \gamma_2(t) \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} x_0+R(t)\cos t \\ y_0+R(t)\sin t \end{pmatrix} \] Dann ist $\gamma$ st"uckweise stetig db mit $\gamma(0)=\gamma(2\pi)$. Weiter sei \[B:=\{(x_0+r\cos t,y_0+r\sin t)\mid t\in[0,2\pi],0\leq r\leq R(t)\} \] Es gilt: B ist kompakt und $\rim B=\Gamma$. Eine Menge $B$, die auf diese Art und Weise erzeugt werden kann, hei"st zul"assig. Zul"assig sind z.B. Kreise, Ellipsen, konvexe Vielecke. Sei $(x,y)=\gamma(t)\in\rim B$ mit geeignetem $t\in[0,2\pi]$. Dann l"asst sich die "au"sere Normale von $B$ folgendermassen darstellen: \[n(x,y):=\frac {(\gamma_2'(t),-\gamma_1'(t))} {\norm{(\gamma_2'(t),-\gamma_1'(t))}} \] (es gilt stets $\norm{(\gamma_2'(t),-\gamma_1'(t))}\neq 0$). } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Integralsatz von Gau"s in der Ebene: $B\subseteq\SetR^2$ zul"assig, $U\supseteq B$ offen, $f\in\SetCont^1(U,\SetR^2)$=>{ \label{the:gauss2dim} \index{Integralsatz} \index{Gau"s >Integralsatz von} Dann gilt \[\int_B \div f(x,y) d(x,y)= \underbrace{ \int_{\rim B} f(x,y)\cdot n(x,y) ds } _{\text{Wegintegral}} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ \ref{the:gauss2dim} gilt allgemeiner f"ur Bereiche $B$, deren Rand durch einen rektifizierbaren Weg im math. pos Sinn einmal umlaufen werden kann. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Berechnung von Fl"acheninhalten:{ Sei $\gamma\in\SetCont^1$ eine Parametrisierung von $\rim B$ mit $\norm{\gamma'}\ident 1$. Dann erh"alt man: \begin{align*} \lambda(B) &= \int_B 1\,d(x,y) = \frac 1 2 \int_B \id_x(x,y)+\id_y(x,y)d(x,y) \\ &= \frac 1 2 \int_B \div \id(x,y) d(x,y) = \frac 1 2 \int_{\partial B} \mat{x\\y}\cdot n(x,y) d(x,y) \\ &= \frac 1 2 \int_\gamma \mat{\gamma_1(t)\\\gamma_2(t)}\cdot \mat{-\gamma_2'(t)\\ \gamma_1'(t)} dt = \frac 1 2 \int_\gamma \mat{-\gamma_2(t)\\\gamma_1(t)}\cdot \gamma'(t) dt \\ &= \frac 1 2 \int_{\rim B} x\,dy - y\,dx \end{align*} Analog ergibt sich: \[\lambda(B)=\int_{\rim B} x\,dy=-\int_{\rim B} y\,dx \] Den Fl"acheninhalt der Ellipse mit Randweg \[\gamma(t)=\begin{pmatrix} a \cos t \\ b \sin t \end{pmatrix} \] erh"alt man so einfach zu $ab\pi$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Fl"achen im $\SetR^3$} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Parameterdarstellung:{ \index{Tangentialebene} \index{Normalenvektor} Sei $D\subseteq\SetR^2$ offen, $K\subseteq D$ kompakt und $\Phi=(\Phi_1,\Phi_2, \Phi_3)\in\SetCont^1(D,\SetR^3)$ und $\rank\Phi'=2$ auf $D$. Dann hei"st $\Phi$ Parameterdarstellung der glatten Fl"ache $\cal F:=\Phi(D)$ und $\Phi|_K$ Parameterdarstellung des glatten Fl"achenst"ucks $\cal F_K:=\Phi(K)$. Es gilt: \[\Phi'=\begin{pmatrix} D_1\Phi_1 & D_2\Phi_1 \\ D_1\Phi_2 & D_2\Phi_2 \\ D_1\Phi_3 & D_2\Phi_3 \\ \end{pmatrix} \] Die Spaltenvektoren von $\Phi'$ sind linear unabh"angig und bestimmen die Tangentialebene \[ (u,v,w)=\Phi(x_0,y_0)+[\Phi_x(x_0,y_0),\Phi_y(x_0,y_0)] \] im Punkt $\Phi(x_0,y_0)$. Senkrecht auf dieser Ebene steht der Normalenvektor \[ n(x_0,y_0):=\frac{\Phi_x(x_0,y_0)\times\Phi_y(x_0,y_0)}{\norm{\Phi_x(x_0,y_0) \times\Phi_y(x_0,y_0)}} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Wichtiger Spezialfall:{ $\phi\in\SetCont(D,\SetR),((x,y)\in D),\Phi(x,y)=(x,y,\phi(x,y))$. Hier ist \[\Phi_x(x,y)=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \phi_x(x,y)\end{pmatrix} \qquad \Phi_y(x,y)=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ \phi_y(x,y)\end{pmatrix} \] und damit $n=\frac{(-\phi_x,-\phi_y,1)}{\sqrt{1+(\phi_x)^2+(\phi_y)^2}}$ ($n$ zeigt nach oben). } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Fl"acheninhalt:{ Ist $\cal F_k$ ein glattes Fl"achenst"uck, so ist dessen Fl"acheninhalt definiert als \[I(\cal F_K):=\int_K\norm{\Phi_x(x,y)\times\Phi_y(x,y)}d(x,y) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der Integralsatz von Stokes} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition:{ Sei $\Phi_K$ Parameterdarstellung eines glatten Fl"achenst"ucks, $f\in\SetCont(\cal F_K,\SetR)$ so definiert man \[\int_{\Phi|_K} f\, do:= \int_K f(\Phi(x,y))\norm{\Phi_x(x,y)\times\Phi_y(x,y)}d(x,y) \] Dieses Integral bleibt bei geeigneter Umparametrisierung erhalten, daher schreibt man auch \[\int_{\cal F_K}f\,do:=\int_{\Phi|_K} f\, do \] F"ur Fl"achen, die aus glatten Fl"achenst"ucken zusammengesetzt sind, definiert man die entsprechenden Integrale als Summe der Integrale der einzelnen Fl"achenst"ucke. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Integralsatz von Stokes: $B\subseteq\SetR^2$ kompakt und zul"assig, $U\supseteq B$ offen, $\Phi\in\SetCont(U,\SetR^3)$ $\gamma:[a,b]\to\SetR^2$ Parameterisierung von $\rim B$, $A\supseteq\Phi(B)$ offen, $f\in\SetCont^1(A,\SetR^3)$=>{ \index{Stokes>Integralsatz von} Sei $\cal F_B=\Phi(B)$. Dann ist $\Phi\circ\gamma:[a,b]\to\SetR^3$ Parametrisierung von $\rim{\cal F_B}$ und es gilt: \[\int_{\Phi|_B} \rot f\cdot n\,do=\int_{\Phi\circ\gamma}f(x,y,z)d(x,y,z) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der Integralsatz von Gau"s im Raum} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Normalbereich:{ Sei $B\subseteq\SetR^2$ kompakt und zul"assig, $U\supseteq B$ offen, $\gamma:[a,b]\to\SetR^2$ glatt und Parametrisierung von $\rim B$, $\phi_1,\phi_2\in\SetCont^1(U,\SetR)$. Es sei $\phi_1<\phi_2$ auf $B$. Weiter sei \[\Phi_i(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \phi_i(x,y) \end{pmatrix} \qquad (i=1,2) \] Dann hei"st die Menge \[V:=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in B,z\in[\phi_1(x),\phi_2(x)]\} \] ein Normalbereich bez"uglich der $z$-Achse. (Definition bez"uglich $x$,$y$-Achsen analog) Die \indexthis{Mantelfl"ache} $\cal M$ von $V$ hat die Parametrisierung \[\Phi_3(t,z)=(\gamma(t),z)\qquad (a\leq t\leq b,\phi_1(\gamma(t))\leq z\leq \phi_2(\gamma(t))) \] Wir nennen den ins "Au"sere von $V$ zeigenden Normaleneinheitsvektor $n=(n_1,n_2,n_3)$ auf $\rim V$ die \indexthis{"au"sere Normale} \index{Normale>"au"sere} und erhalten \begin{align*} n&=\frac{(\phi_{1x},\phi_{1y},-1)}{\norm{(\phi_{1x},\phi_{1y},-1)}} \qquad \text{ auf $\cal F_1$} \\ n&=\frac{(-\phi_{2x},-\phi_{2y},1)}{\norm{(-\phi_{2x},-\phi_{2y},1)}} \qquad \text{ auf $\cal F_2$} \\ n&=\frac{(\gamma_2',-\gamma_1',0)}{\norm{(\gamma_2',-\gamma_1',0)}} \qquad \text{ auf $\cal M$} \end{align*} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Integralsatz von Gau"s im Raum: $V$ Normalbereich bzgl. aller drei Achsen, $U\supseteq V$ offen, $f\in\SetCont^1(U,\SetR^3)$=>{ \label{the:int-gauss-3d} \index{Gau"s>Integralsatz im Raum} Dann gilt \[\int_V \div f(x,y,z)d(x,y,z)=\int_{\rim V} f\cdot n\,do \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Durch Approximationsargumente kann \ref{the:int-gauss-3d} auf Kugeln, Ellipsoide u.v.a. Teilmengen des $\SetR^3$ erweitert werden. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Gew"ohnliche Differentialgleichungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ $I$ sei ein Intervall positiver L"ange. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Gew"ohnliche Differentialgleichung:{ \index{Differentialgleichung>gew"ohnliche} Sei $k\natural$, $y\in\SetCont^k(I,\SetR^p)$, $D\subseteq\SetR^{(k+1)p+1}$, $F:D\to\SetR^p$. Eine Gleichung der Form \begin{equation*} F(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k)}(x))=0 \tag{*} \end{equation*} hei"st gew"ohnliche Differentialgleichung/Dgl. Sei $I$ ein Intervall, $y:I\to\SetR^p$ eine Funktion. $y$ hei"st L"osung von $(*)$ auf $I$, falls gilt: \begin{stmts} \item $y$ ist auf $I$ $k$-mal db \item $(x,y(x),\ldots,y^{(k)})\in D)$ f"ur alle $x\in I$. \item $(*)$ ist erf"ullt. \end{stmts} L"osungen "uber verschiedenen Intervallen werden als verschieden angesehen, selbst wenn sie in $y$ "ubereinstimmen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Hier einige Differentialgleichungen mit L"osung: \begin{itemize} \item $y^2(x)+(y'(x))^2=1$ $\to$ $y(x)=\cos x$ \item $x+y(x)/y'(x)=0$ $\to$ $y:(-\infty,0)\to\SetR$, $y(x)=c/x$ \item $f\in\SetCont([a,b],\SetR)$, $y'(x)-f(x)=0$ $\equiv$ $y'(x)=f(x)$ \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Explizite Differentialgleichung:{ \index{Differentialgleichung>explizite} Hat $(*)$ die Form \[y^{(k)}=F(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k-1)}(x)) \] so spricht man von einer expliziten Dgl $k$-ter \indexthis{Ordnung}. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Ist $y:I\to\SetR^p$ eine L"osung einer expliziten Dgl mit stetigem $F$, so ist $y\in\SetCont^k(I,\SetR^p)$. In dieser Vorlesung werden vorwiegend solche Dgl'en betrachtet. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Anfangswertproblem:{ Sei nun weiterhin $(x_0,y_0,\ldots,y_{k-1})\in D$, so hei"st das Gleichungssystem \begin{align*} y^{(k)}(x)&=F(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k-1)}(x)) \tag{***}\\ y(x_0)&=y_0\\ y'(x_0)&=y_1 \tag{**} \\ &\vdots\\ y^{(k-1)}(x_0)&=y_{k-1} \end{align*} ein Anfangswertproblem/AWP. Eine L"osung des AWP ist eine L"osung der Dgl $(***)$ und der Gleichungen $(**)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Hier einige Anfangswertprobleme mit L"osung: \begin{stmts} \item $y'(x)=2y(x)$ mit $y(0)=4$ $\to$ $y(x)=4e^{2x}$ \item $y'(x)=2\sqrt{2y(x)}$, $y(0)=0$ $\to$ $y(x)\in\{\max\{0,x-a\}\mid a>0\}$ \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Eindeutigkeit einer L"osung:{ Ein AWP $(**)$ hei"st eindeutig l"osbar, falls gilt \begin{stmts} \item Es existiert eine L"osung $y:I\to\SetR^p$ \item Sind $y_1:I_1\to\SetR^p$, $y_2:I_2\to\SetR^p$ L"osungen, so gilt $y_1=y_2$ auf $I_1\cap I_2$ \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Bezeichnungsweisen in der Literatur:{ Die Variablenbezeichnungen von Dgl'en sind in der Literatur nicht einheitlich. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Explizit l"osbare Differentialgleichungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Wir betrachten stets $\SetR$, also $p=1$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Lineare Differentialgleichung (I):{ \index{Differentialgleichung>lineare}% \index{Differentialgleichung>homogene}% \index{Differentialgleichung>inhomogene}% \index{Lineare Differentialgleichung}% \index{Homogene Differentialgleichung}% \index{Inhomogene Differentialgleichung}% Sei $J\subseteq\SetR$ ein Intervall, $a,g\in\SetCont(J,\SetR)$. Eine Differentialgleichung der Form \[y'(x)=a(x)y(x)+g(x) \] hei"st linear. Sie hei"st au"serdem homogen, falls $g=0$, ansonsten inhomogen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Homogene lineare Dgl'en} % ----------------------------------------------------------------------------- \lessertheorem:$y'(x)=a(x)y(x)$ Dgl, $a\in\SetCont(J,\SetR)$, $A:J\to\SetR$, $A'=a$, $y:I\to\SetR$ ($I\subseteq J$) L"osung=>{ F"ur $x\in I$ gilt \[e^{-A(x)}(y'(x)-a(x)y(x))=0\implies \frac d {dx}(e^{-A}y)(x)=0 \] d.h. der letzte Term ist konstant, also gilt f"ur alle $c\in\SetR$, dass $y(x)=ce^{A(x)}$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Ist also in diesem Fall $y(x)=0$ f"ur ein $x\in J$, so gilt $y=0$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Inhomogene lineare Dgl'en} % ----------------------------------------------------------------------------- \lessertheorem:$y'(x)=a(x)y(x)+g(x)$ Dgl, $a,g\in\SetCont(J,\SetR)$, $A:J\to\SetR$, $A'=a$=>{ Mit dem Ansatz $y(x)=e^{A(x)}c(x)$ soll nun $c(x)$ so bestimmt werden, dass $y$ L"osung der Dgl wird. \begin{align*} y'(x)&=c(x)a(x)e^{A(x)}+c'(x)e^{A(x)} \\ &\overset{!}{=}c(x)a(x)e^{A(x)}+g(x) \\ &\equiv c'(x)=e^{-A(x)}g(x) \end{align*} W"ahle $x_0\in J$ fest und setze \[c(x):=\int_{x_0}^x g(\xi)e^{-A(\xi)}d\xi \] Damit gilt \begin{align*} y(x)&=e^{A(x)}\int_{x_0}^x g(\xi) e^{-A(\xi)} d\xi \\ &=\int_{x_0}^x e^{\int_\xi^x a(\eta)d\eta} g(\xi) d\xi \end{align*} Sind nun $y_1,y_2:I\to\SetR$ ($I\subseteq J$) L"osungen der inhomogenen Gleichung, so ist $y:=y_1-y_2$ L"osung der zugeh. homogenen Gleichung. Umgekehrt kann man auf diese Art und Weise auch aus einer inh. und einer hom. L"osung eine weitere inh. L"osung erzeugen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Lineare AWPe} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $J\subseteq$ Intervall, $x_0\in J$, $y_0\real$, $y'(x)=a(x)y(x)+g(x)$, $y(x_0)=y_0$ AWP mit $a,g\in\SetCont(J,\SetR)$ =>{ Dann sind genau die Funktionen \[y(x)=\int_{x_0}^x e^{\int_\xi^x a(\eta)d\eta} g(\xi) d\xi +y_0e^{\int_{x_0}^x a(\xi)d\xi} \] L"osung des AWP auf $J$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Dgl'en mit getrennten Ver"anderlichen} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Differentialgleichung mit getrennten Ver"anderlichen:{ \index{Ver"anderliche>Differentialgleichung mit getrennten} \index{Getrennte Ver"anderliche>Differentialgleichung mit} Seien $J_1,J_2$ Intervalle, $g\in\SetCont(J_1,\SetR)$, $f\in\SetCont(J_2,\SetR)$. Eine Differentialgleichung der Form \[y'(x)=g(x)f(y(x)) \] hei"st Differentialgleichung mit getrennten Ver"anderlichen. Im Spezialfall $g\ident 1$ hei"st die Dgl. autonom. \index{Autonome Differentialgleichung} \index{Differentialgleichung>autonome} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Eine spezielle L"osung:{ Seien $(x_0,y_0)\in J_1\times J_2$. Ist $f(y_0)=0$, so ist $y:J_1\to\SetR$ mit $y(x)=y_0$ eine L"osung der obigen Dgl, oft sind aber noch weitere L"osungen vorhanden. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $J_1,J_2$ Intervalle, $g\in\SetCont(J_1,\SetR)$, $f\in\SetCont(J_2,\SetR)$. $(x_0,y_0)\in \inner{J_1}\times\inner{J_2}$, $f(y_0)\neq 0$=>{ Ist $y:I\to\SetR$ L"osung der Dgl $y'(x)=g(x)f(y(x))$ mit $y(x_0)=y_0$ und $f(y(x))\neq 0$ ($x\in I$), so gilt: F"ur jedes $x\in I$ besitzt $f$ keine Nullstellen zwischen $y_0=y(x_0)$ und $y(x)$, und damit \[\int_{x_0}^x g(\xi)d\xi=\int_{y_0}^{y(x)} \frac 1 {f(\eta)} d\eta \qquad (x\in I) \] denn es ist (abgelitten) \begin{equation} g(x)=\frac{y'(x)}{f(y(x))} \tag{$*$} \end{equation} Somit ist $z\mapsto\int_{y_0}^{y(z)} 1/f(\eta) d\eta$ streng monoton, also umkehrbar, $(*)$ kann also nach $y$ aufgel"ost werden. Insgesamt gilt: Es existiert ein $\epsilon>0$ so, dass f"ur $I:=(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$ gilt: \begin{stmts} \item Das AWP $y'(x)=g(x)f(y(x)),y(x_0)=y_0$ hat eine L"osung $y:I\to\SetR$ mit $f(y(x))\neq 0$ ($x\in I$) \item Sind $y_1:I_1\to\SetR$, $y_2:I_2\to\SetR$ L"osungen, so stimmen diese punktweise auf $I_1\cap I_2$ "uberein. \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Zum Autonomen Fall:{ Sei $f\in\SetCont(J,\SetR)$. Betrachte $y'(x)=f(y(x))$ Ist $y:\SetR\to\SetR$ L"osung, so ist $y_a:\SetR\to\SetR$ mit $y_a(x):=y(x+a)$ und $a\in\SetR$ ebenfalls eine L"osung auf $\SetR$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $J\subseteq\SetR$ Intervall, $f\in\SetCont(J,\SetR)$, $y:I\to\SetR$ L"osung von $y'(x)=f(y(x))$=>{ Dann ist $y$ monoton auf $I$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Einige Substitutionen} % ----------------------------------------------------------------------------- \lessertheorem N"utzliche Substitutionen:=>{ F"ur die folgenden Dgl'en von spezieller Gestalt existieren Tricks: \begin{stmts} \item Die \indexthis{Homogene Differentialgleichung} (Vorsicht: Homogene Dgl $\neq$ homogene lineare Dgl) \index{Differentialgleichung>homogene} \[y'(x)=f\left(\frac {y(x)} x\right) \] Substituiere $u(x)=y(x)/x$. Dann ist $y'(x)=u(x)+xu'(x)$ (Bew: Definition von $u$ ableiten, aufl"osen) Dann ergibt sich (einsetzen in Dgl) \[u'(x)=\frac{f(u(x))-u(x)} x \] also eine Dgl mit getrennten Ver"anderlichen. \item Betrachte \[y'(x)=f(ax+by(x)) \] Setze $u(x):=ax+by(x)$. Dann ist $u'(x)=a+bf(u(x))$ (linear) \item Die \indexthis{Bernoulli'sche Dgl} \index{Differentialgleichung>Bernoulli'sche} \[y'(x)=g(x)y(x)+h(x)y^\alpha(x)\qquad \alpha\neq 1 \] Setze $u(x):=y^{1-\alpha}(x)$. Es ergibt sich: \begin{align*} u'(x) &= (1-\alpha)y^{-\alpha}(x)y'(x) \\ &= (1-\alpha)\left[g(x)y^{1-\alpha}(x)+h(x)\right] \\ &= (1-\alpha)g(x)u(x)+(1-\alpha)h(x) \end{align*} also eine lineare Dgl in $u$. \item Die \indexthis{Riccati'sche Differentialgleichung} \index{Differentialgleichung>Riccati'sche} \[y'(x)=k(x)+g(x)y(x)+h(x)y^2(x) \] Sind $y,\tilde y$ L"osungen dieser Dgl, so gen"ugt $u=y-\tilde y$ einer Bernoulli'schen Dgl mit $\alpha=2$, n"amlich \[u'(x)=\left[g(x)+2\tilde y(x)h(x)\right]u(x)+h(x)u^2(x) \] die mit $v:=1/u$ in eine lineare Dgl "uberf"uhrt werden kann. Kennt man also eine L"osung $\tilde y$ der Riccati'schen Dgl, so k"onnen weitere L"osungen durch L"osen einer linearen Dgl berechnet werden. \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Bis jetzt ist kein ``Rechenverfahren'' bekannt, das eine ausreichend gro"se Kategorie von Dgl'en l"ost. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Ein Eindeutigkeitssatz} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:$J\subseteq\SetR$ Intervall, $x_0\in J$, $a,g,v\in\SetCont(J,\SetR)$, $v$ db auf $\inner J$ mit $v'(x)\leq a(x)v(x)+g(x)$ f"ur $x\in\inner J$=>{ Dann gilt f"ur $x\in J$ \[y(x)\stack(\leq;\geq) v(x) e^{\int_{x_0}^x a(\xi)d\xi}+\int_{x_0}^x e^{\int_\xi^x a(\eta)d\eta}g(\xi)d\xi \qquad\stack(\text{f"ur $x\geq x_0$};\text{f"ur $x\leq x_0$}) \] % *** FIXME stimmt so? } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Lokale Lipschitz-Stetigkeit:{ \index{Stetigkeit>Lokale Lipschitz-} \index{Lipschitz-Stetigkeit>Lokale} Sei $D\subseteq\SetR\times\SetR^p$, $f:D\to\SetR^p$. Dann hei"st $f$ lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$, falls gilt: \begin{multline*} (\forall (x_0,y_0)\in D)(\exists L,\delta >0)(\forall (x,y),(x,\tilde y)\in D) \\ (|x-x_0|,\norm{y-y_0},\norm{\tilde y-y_0}<\delta\implies \norm{f(x,y)-f(x,\tilde y)}\leq L\norm{y-\tilde y}) \end{multline*} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Diese Definition ist unabh"angig von der gew"ahlten Norm, nicht jedoch die Gr"o"se von $L$ und $\delta$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR\times\SetR^p$, $f:D\to\SetR^p$ lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$=>{ \label{the:eindeutig} Seien $y_1:I_1\to\SetR^p$, $y_2:I_2\to\SetR^p$ L"osungen von \[y'(x)=f(x,y(x))\qquad y(x_0)=y_0 \] so stimmen $y_1$ und $y_2$ auf $I_1\cap I_2$ punktweise "uberein. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ F"ur Eindeutigkeit nach rechts ($x\geq x_0$) gen"ugt eine lokale Bedingung, n"amlich \[(y-\tilde y)(f(x,y)-f(x,\tilde y))\leq L\norm{y-\tilde y} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Ableitung der Euklidnorm:{ Sei $\norm \cdot$ die Euklidnorm. Dann gilt $\norm\cdot\in\SetCont^\infty(\SetR^p\setminus\{0\},\SetR)$. Sei nun $u:I\to\SetR^p$ db auf $I$. Dann gilt \[\frac d {dx} \norm{u(x)}=\frac 1{\norm{u(x)}} u(x)u'(x) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Sei $D\subseteq\SetR\times\SetR$ offen, $f\in\SetCont(D,\SetR)$ und partiell stetig differenzierbar nach $y$. Dann ist $f$ lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Der Satz von Picard-Lindel"of} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Lipschitz-Stetigkeit:{ \index{Stetigkeit>Lipschitz-} Sei $D=[a,b]\times\SetR^p$ (man nennt $D$ dann einen \indexthis{Streifen}), $f:D\to\SetR^p$. Weiter existiere ein $L>0$ so, dass \[(\forall (x,y),(x,\tilde y)\in D)(\norm{f(x,y)-f(x,\tilde y)}\leq L\norm{y-\tilde y}) \] Dann nennt man $f$ Lipschitz-stetig bzgl. $y$ auf $D$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Vorsicht! Die Lipschitz-Stetigkeit bzgl. $y$ impliziert nicht die Stetigkeit einer Funktion. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Picard-Lindel"of: $D=[a,b]\times\SetR^p$ ein \indexthis{Streifen}, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$ Lipschitz-stetig bzgl. $y$, $(x_0,y_0)\in D$=>{ \label{the:picard} Dann ist das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ eindeutig l"osbar. Weiterhin konvergiert jede Folge ``sukzessiver Approximationen'', gegeben durch ein $z_0\in\SetCont([a,b],\SetR^p)$ beliebig und die Rekursionsformel \[z_{n+1}':=f(x,z_n(x))\qquad z_{n+1}(x_0)=y_0 \] ($n\nnatural$) gleichm"a"sig gegen diese eine L"osung. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Lineare Differentialgleichung (II):{ \index{Differentialgleichung>lineare}% \index{Differentialgleichung>homogene}% \index{Differentialgleichung>inhomogene}% \index{Lineare Differentialgleichung}% \index{Homogene Differentialgleichung}% \index{Inhomogene Differentialgleichung}% Sei $A\in\SetCont([a,b],\SetR^{p\times p})$, $g\in\SetCont([a,b],\SetR^p)$, $f:[a,b]\times \SetR^p$ definiert durch $f(x,y)=A(x)y(x)+g(x)$ und $(x_0,y_0)\in[a,b]\times\SetR^p$. Das zugeh"orige AWP \[y'(x)=A(x)y(x)+g(x)\qquad y(x_0)=y_0 \] hei"st linear und die Dgl hei"st homogen, falls $g=0$, ansonsten inhomogen. Sei $\fnorm \cdot$ eine Matrixnorm auf $\SetR^{p\times p}$ mit $\norm{By}\leq\fnorm B\,\norm y$. Es ist $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR^p)$, und da $A$ stetig auf $[a,b]$, ist auch $x\mapsto\fnorm{A(x)}$ stetig auf $[a,b]$, somit beschr"ankt, somit Lipschitz-stetig. Damit ergibt sich die eindeutige L"osbarkeit des AWP. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Der Existenzsatz von Peano} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Existenzsatz von Peano: $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR^p,\SetR^p)$ beschr"ankt=>{ \label{the:peano} \index{Peano>Existenzsatz von} Dann besitzt das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ mit $(x_0,y_0)\in[a,b]\times\SetR^p$ eine L"osung auf $[a,b]$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Gleichgradige Stetigkeit:{ \index{Stetigkeit>gleichgradige} $\cal F\subseteq\SetCont([a,b]\times\SetR^p,\SetR^p)$ hei"st gleichgradig stetig $:\equiv$ \[\epsn(\exists \delta>0)(\forall x,\tilde x\in[a,b])(\forall \phi\in\cal F) (|x-\tilde x|<\delta \implies \norm{\phi(x)-\phi(\tilde x)}<\epsilon) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Es gilt: \begin{itemize} \item Gleichgradige Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionenmengen, nicht von Funktionen. \item Ist $\cal F\subseteq\SetCont([a,b],\SetR^p)$ und ex. ein $c>0$ so, dass jede Funktion $\phi\in\cal F$ Lipschitz-stetig mit der Konstanten $c$ ist, so ist $\cal F$ gleichgradig stetig. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Ascoli-Arcel{\`a}: $\cal F\subseteq\SetCont([a,b],\SetR^p)$ gleichgradig stetig, ex. $k>0$ mit $(\forall \phi\in\cal F)(\forall x\in[a,b])(\norm{\phi(x)}\leq k)$=>{ \label{the:ascoli} \index{Ascoli-Arcel{\`a}>Satz von} Dann besitzt jede Folge $(\phi_n)\subseteq\cal F$ eine glm. konvergente Teilfolge. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ \ref{the:ascoli} ist ein Kompaktheitskriterium im Raum $\SetCont([a,b],\SetR^p)$, versehen mit der Maximumsnorm. Genauer gilt: $\cal F \subseteq\SetCont([a,b],\SetR^p)$ kompakt $\equiv$ $\cal F$ ist beschr"ankt, abgeschlossen und gleichgradig stetig. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Eine Absch"atzung:{ Ist $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR^p,\SetR^p)$ beschr"ankt durch $M$ und $y:[a,b]\to\SetR^p$ L"osung des AWP $y'(x)=f(x,y(x))$, so gilt offensichtlich: \[\norm{y(x)-y_0}\leq M|x-x_0| \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark AWPe auf Rechtecken:{ Sei $c>0$, $y_0\in\SetR$, $D:=[a,b]\times[y_0-c,y_0+c]$, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$. Betrachte das AWP $y'(x)=f(x,y(x)), y(a)=y_0$. Weil $D$ kompakt und $f$ stetig ist, existiert $M:=\underset D \max f(x,y)$. Definiere eine neue Funktion \[\tilde f(x,y):=\begin{cases} f(x,y_0+c) & (x,y)\in[a,b]\times(y_0+c,\infty) \\ f(x,y) & (x,y)\in[a,b]\times[y_0-c,y_0+c] \\ f(x,y_0-c) & (x,y)\in[a,b]\times(-\infty,y_0-c) \end{cases} \] Wegen des Satzes von Peano ist das AWP $y'(x)=\tilde f(x,y(x)),y(a)=y_0$ l"osbar, und eine L"osung von $y$ l"asst sich auf $[a,\min\{a,a+\frac c M\}]$ auf $y'(x)=f(x,y(x))$ "ubertragen. Eine analoge "Uberlegung l"asst sich f"ur die G"ultigkeit von \ref{the:picard} anstellen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Nicht fortsetzbare L"osungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Nicht fortsetzbare L"osung:{ \index{L"osung>nicht fortsetzbare} Sei $D:=\SetR^{p+1}$, $f:D\to\SetR^p$, $(x_0,y_0)\in D$. Eine L"osung $y:I\to\SetR^p$ des AWP $y'(x)=f(x,y(x))$ hei"st nicht fortsetzbar, wenn es keine L"osung $\tilde y:J\to\SetR^p$ mit $J\underset \neq \supset I$ und $y=\tilde y$ auf $I$ gibt. Auf naheliegende analoge Weise werden definiert: Nicht nach rechts/links fortsetzbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR^{p+1}$, $f:D\to\SetR^p$, $(x_0,y_0)\in D$, $u:I\to\SetR^p$ L"osung von $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$=>{ \label{the:fortsetzbar} Dann gibt es eine nicht fortsetzbare L"osung dieses AWP. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR\times\SetR^p$ offen, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$, $(x_0,y_0)\in D$=>{ \label{the:exist-open} Dann besitzt das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ eine L"osung $y:I\to\SetR^p$ mit $x_0\in \inner I$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Dazu folgende Bemerkungen: \begin{itemize} \item \ref{the:exist-open} ist im Grunde eine Erweiterung des Satzes von Peano auf beliebige offene Teilmengen des $\SetR^p$, wobei jetzt nicht mehr wie vormals ein Existenzintervall garantiert wird, sondern lediglich die Existenz einer L"osung auf irgendeinem Intervall gefolgert werden kann. \item Unter den Voraussetzungen von \ref{the:exist-open} gibt es zu jeder L"osung $y:I\to\SetR^p$ eine nicht fortsetzbare L"osung $\tilde y:J\to\SetR^p$ mit $J\supseteq I$, $\tilde y|_I=y$. Da $D$ offen ist, ist $J$ offen, also von der Form $(\omega_-,\omega_+)$, wobei $\omega_-\in\SetR\cup\{-\infty\},\omega_+\in\SetR\cup\{+\infty\}$. $J$ muss offen sein, da man sonst nach \ref{the:exist-open} in die Richtung der Abgeschlossenheit fortsetzen k"onnte. \item Ist das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ in obigem Satz eindeutig l"osbar, so gibt es genau eine nicht fortsetzbare L"osung $y:(\omega_-,\omega_+)\to\SetR^p$. Diese L"osung bezeichnet man dann als \emph{die} L"osung des AWP. \index{L"osung eines AWP} \index{AWP>L"osung eines}\index{Anfangswertproblem>L"osung eines} (Analog: \emph{die} L"osung nach rechts/links). \item Unter den Voraussetzungen von \ref{the:exist-open} ist z.B. eine L"osung $y:[x_0,\omega_+)\to\SetR^p$ nach rechts fortsetzbar $\equiv$ es ex. keine kompakte Menge $K\subseteq D$ mit $\{(x,y(x))\mid x\in[x_0,\omega_+)\}\subseteq K$. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Beispiele} % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Die logistische Gleichung:{ Seien $a,b>0$. Durch \begin{equation*} y'(x)=ay(x)-by^2(x),y(0)=y_0\geq 0 \tag{*} \end{equation*} ist eine Differentialgleichung gegeben. Nach \ref{the:eindeutig}, \ref{the:peano} und \ref{the:fortsetzbar} besitzt das AWP $(*)$ eine eindeutig bestimmte nicht fortsetzbare L"osung: \begin{itemize} \item Bei entsprechendem $y_0$ sind L"osungen: $y=0,y=\frac a b$. \item Sei nun $y_0\not\in\{0,\frac a b\}$. Mit der Methode f"ur Dgl'en mit getrennten Ver"anderlichen erh"alt man: \[y(x)=\frac{ay_0}{by_0+(a-by_0)e^{-ax}} \] Falls $0lineares}% \index{Differentialgleichung>lineare}% \index{Differentialgleichung>homogene}% \index{Differentialgleichung>inhomogene}% \index{Lineare Differentialgleichung}% \index{Homogene Differentialgleichung}% \index{Inhomogene Differentialgleichung}% Sei nun stets $A\in\SetCont([a,b],\SetR^{p\times p})$. Die Differentialgleichung \begin{equation*} y'(x)=A(x)y(x)+g(x) \tag{L} \end{equation*} mit einem $g\in\SetCont([a,b],\SetR^p)$ hei"st lineare Dgl im $\SetR^p$, bzw. lineares System von $p$ Dgl'en. Die Dgl. \begin{equation*} y'(x)=A(x)y(x) \tag{H} \end{equation*} hei"st zugeh"orige homogene Gleichung, w"ahrend $(L)$ wie im Fall $p=1$ inhomogen hei"st. Gelegentlich wird o.B.d.A. auch der Fall $I\subseteq\SetR$ statt $I=[a,b]$ betrachtet. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark L"osbarkeit von linearen Systemen:{ Nach Definition sind alle linearen AWPe eindeutig mit einer nicht fortsetzbaren L"osung l"osbar. Weiterhin ist jede L"osung $y:[a,b]\to\SetR^p$ der Dgl von der Form $y\ident y_h+y_s$, dabei ist $y_h$ die L"osung des homogenen Problems $y'(x)=A(x)y(x),y(x_0)=0$ und $y_s$ die L"osung des inhomogenen Problems $y'(x)=A(x)y(x),y(x_0)=y_0$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Lineare Unabh"angigkeit von Funktionen:{ Seien $y_1,\ldots,y_k\in\SetCont([a,b],\SetR)$ und $x\in[a,b]$ beliebig. Dann gilt \[y_1,\ldots,y_k \text{ linear unabh"angig}\stack(\not\implies;\Leftarrow) y_1(x),\ldots,y_k(x)\text{ linear unabh"angig} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ Sei $V:=\{y\in\SetCont^1([a,b],\SetR^p)\mid y \text{ l"ost } (H)\}$. Dann gilt: $V$ ist ein Vektorraum mit $\dim V=p$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Fundamentalsysteme} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Fundamentalsystem:{ Jede Basis des L"osungsraumes $V$ eines homogenen linearen Systems $(H)$ hei"st ein Fundamentalsystem/FS von $(H)$. Ist nun $\{y_1,\ldots,y_p\}$ ein Fundamentalsystem von $(H)$, so fasst man diese Funktionen zu einer Matrixfunktion $Y:[a,b]\to\SetR^{p\times p}$ zusammen durch \[Y(x):=\begin{pmatrix} y_1(x)|\ldots|y_p(x) \end{pmatrix} \] Diese Funktion hei"st dann \indexthis{Fundamentalmatrix} von $(H)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark L"osungen und Linearit"at:{ Gilt $Y(x_0)=I$, so ist $y(x)=Y(x)y(x_0)=Y(x)y_0$ L"osung des linearen Systems $(H)$. Ist weiterhin eine L"osung $y_s:[a,b]\to\SetR^p$ als L"osung von $(L)$ mit $y_s(x_0)=0$ bekannt, so ist die L"osung des AWPs $y'(x)=A(x)y(x)+g(x),y(x_0)=y_0$ die Funktion $y(x)=Y(x)y_0+y_s(x)$. Eine Fundamentalmatrix $Y:[a,b]\to\SetR^{p\times p}$ von $(H)$ kann auch aufgefasst werden als L"osung der Matrixgleichung $Y'(x)=A(x)Y(x)$ } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: V L"osungsraum von $(H)$, $y_1,\ldots,y_k\in V$=>{ Dann gilt \begin{multline*} y_1,\ldots,y_k\text{ linear unabh"angig} \equiv \\ (\forall x\in[a,b])(y_1(x),\ldots,y_k(x)\text{ linear unabh"angig}) \end{multline*} Insbesondere gilt: Ist $Y:[a,b]\to\SetR^{p\times p}$ ein Fundamentalsystem von $(H)$, so ist $\det Y(x)\neq 0$. Hierbei ist ``$\implies$'' die interessante Richtung, die andere ist trivial. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark L"osung von $(L)$ durch Variation der Konstanten:{ Ist zu einer Gleichung $(H)$ ein FS $Y:[a,b]\to\SetR^{p\times p}$ bekannt, so f"uhrt der Ansatz $y_s(x)=Y(x)c(x)$ (Variation der Konstanten) f"ur eine L"osung von $(L)$ auf \begin{align*} & y_s'(x)=\underbrace{Y'(x)}_{A(x)Y(x)}c(x)+Y(x)c'(x)\overset !=A(x)Y(x)c(x)+g(x) \\ \equiv & Y(x)c'(x)=g(x)\equiv c'(x)=Y^{-1}(x)g(x) \end{align*} Setzt man also \footnote{hier koordinatenweise integrieren} \[c(x):=\int_{x_0}^x Y^{-1}(\xi)g(\xi)d\xi \qquad(x_0\in[a,b]\text{ fest}) \] dann ist $y^*(x):=Y(x)c(x)$ die L"osung des AWP's $y'(x)=A(x)Y(x)+g(x),y(x_0)=y_0$. Ist $Y:[a,b]\to\SetR^{p\times p}$ irgendein Fundamentalsystem, so sind die L"osungen einer Gleichung der Art $(L)$ genau die Funktionen \[y(x)=Y(x)c+Y(x)\int_{x_0}^x Y^{-1}(\xi)g(\xi)d\xi \qquad c\in\SetR^p \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Die Wronski-Determinante} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Wronski-Determinante:{ \index{Determinante>Wronski-} Sind $y_1,\ldots,y_p$ $p$ L"osungen von $(H)$ (nicht notwendigerweise l.u.), so nennt man $\Phi(x):=\det(y_1|\ldots|y_p)(x)$ ihre Wronski-Determinante. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Eigenschaften der Wronski-Determinante:{ Da $p$ L"osungen von $(H)$ genau dann l.u. sind, wenn $y_1(x),\ldots,y_p(x)$ f"ur alle $x\in[a,b]$ l.u. sind, gilt entweder $\Phi(x)=0$ oder $\Phi(x)\neq 0$, jeweils f"ur $x\in[a,b]$. Weiterhin ist $\Phi(x)$ differenzierbar und es gilt f"ur $x\in[a,b]$ \[\Phi'(x)=(\Spur A(x))\cdot \Phi(x) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Das Reduktionsverfahren von d'Alembert} % ----------------------------------------------------------------------------- \lessertheorem Reduktionsverfahren von d'Alembert:$y:[a,b]\to\SetR^p$ L"osung von $y'(x)=A(x)y(x)$,$j\in\{1,\ldots,p\}$ beliebig gew"ahlt=>{ Dann erh"alt man mit dem Ansatz $z(x):=h(x)y(x)+g(x)$, $h$ reellwertig (unbekannt), $g\cdot e_j=0$: \begin{align*} &z'(x)=h'(x)\cdot y(x)+\underbrace{h(x)y'(x)}_{h(x)A(x)y(x)}+g'(x) \overset !=A(x)h(x)y(x)+A(x)g(x)\\ \equiv &h'(x)y(x)+g'(x)=A(x)g(x) \end{align*} Ist nun $y\cdot e_j\neq 0$ auf einem Intervall $I\subseteq[a,b]$, so erh"alt man wegen $g\cdot e_j=0$ ein lineares Dgl.system mit $p-1$ Gleichungen f"ur alle Komponentenfunktionen von $g$ au"ser der $j$-ten, in welchem ebendiese $j$-te Koordinate durch $h$ ersetzt werden kann. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Reduktionsverfahren von d'Alembert:{ Betrachte $A:(0,\infty)\to\SetR^{2\times 2}$ mit \[A(x)=\begin{pmatrix} \frac 1x & -1 \\ \frac 1 {x^2} & \frac 2 x \end{pmatrix} \text{ und } y_1(x):=\begin{pmatrix} x^2\\-x \end{pmatrix} \] $y_1(x)$ ist L"osung von $y'(x)=A(x)y(x)$ und z.B. durch einen Polynomansatz zu ermitteln. Ziel: Gewinnung einer weiteren, linear unabh"angigen L"osung. W"ahle $j:=1$ f"ur die Reduktion. Ansatz: \begin{align*} &y_2(x)=h(x)y_1(x)+ \underbrace{\begin{pmatrix}0\\ \eta(x)\end{pmatrix}}_{g(x):=}\\ \underset{\text{oben}}\implies &h'(x)\begin{pmatrix} x^2\\-x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ \eta'(x)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac 1x & -1 \\ \frac 1 {x^2} & \frac 2 x \end{pmatrix}g(x)\\ \equiv&\left\{\begin{gathered} h'(x)x^2=-\eta(x)\\ h'(x)x+\eta'(x)=\frac 2 x \eta(x)\end{gathered}\right. \implies h'(x)=-\frac{\eta(x)}{x^2}\\ \implies &-\frac{\eta(x)}{x^2}'(x)x+\eta'(x)=\frac 2 x \eta(x)\\ \equiv &\eta'(x)=\frac 1 x \eta(x) \end{align*} Daher erkennt man: $\eta(x)=x$ ist eine L"osung dieser Dgl. Dann ist $h'(x)=-\frac 1 x$, also $h(x)=-\log x$. Damit ist ein Fundamentalsystem bestimmt: \[ Y(x):=\begin{pmatrix} x^2 & x^2\log x \\ -x & x+x\log x \end{pmatrix} \] ist Fundamentalsystem, denn $\det Y(x)\neq 0$ f"ur $x\in(0,\infty)$. Um nun das AWP $y'(x)=A(x)y(x),y(1)=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ zu l"osen, betrachte man das LGS \[Y(1)c=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \equiv c=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \] Die L"osung des obigen AWP ist somit \[y(x):=Y(x)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x^2+2x^2\log x\\ x+2x\log x \end{pmatrix} \qquad x\in(0,\infty) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- ana3-source/ana3_11_20.tex0000644000175000017500000014023310377450216015170 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten} \label{sec:linear-const-system} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Exponentialfunktion auf Matrizen:{ \index{Matrizen>Exponentialfunktion auf} Sei $A\in\SetR^{p\times p}$. Dann wird definiert \[e^A:=\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \] Diese Reihe ist absolut konvergent. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Eigenschaften von $e^A$:{ Sei $A\in\SetR^{p\times p}$. \begin{stmts} \item $AB=BA$ $\implies$ $e^{A+B}=e^Ae^B=e^Be^A$ (im Allgemeinen sind alle drei verschieden) \item $e^A$ ist invertierbar und es gilt $(e^A)^{-1}=e^{-A}$ \item Sei $Y:\SetR\to\SetR^{p\times p}$ definiert durch $Y(x):=e^{xA}$ mit $A\in\SetR^{p\times p}$ fest. Dann ist $Y\in\SetCont^\infty(\SetR,\SetR^{p\times p})$ und es gilt $Y^{(n)}(x)=A^ne^{xA}$. Insbesondere ist also $e^{xA}$ ein Fundamentalsystem von $Y'(x)=AY(x)$, und zwar genau dasjenige, das bei $x=0$ die Einheitsmatrix $I$ liefert. \item Mit jeder submultiplikativen Matrixnorm $\fnorm\cdot$ gilt $\fnorm {e^{xA}}\leq e^{|x|\,\fnorm A}$. \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Eigenvektoren:{ Ist nun $\lambda$ reeller Eigenwert zu $A\in\SetR^{p\times p}$, $v$ zugeh"origer reeller EV, so gilt: \[e^{xA}v=\sum_{k=0}^\infty \frac {(xA)^kv}{k!} =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k\lambda^k}{k!} v =e^{\lambda x}v \] Dies bedeutet ohne Umwege, dass $y(x):=e^{\lambda x}v$ eine L"osung des Dgl-Systems ist. } % ----------------------------------------------------------------------------- \deduction Berechnung eines Fundamentalsystems:{ Die explizite Berechnung von $e^{xA}$ ist in vielen F"allen nicht durchf"uhrbar. Hier soll deswegen ein anderes Verfahren vorgestellt werden, das mit Hilfe der Jordan'schen Normalform ebenfalls auf ein FS f"uhrt. Da i.A. EWe und EVen nicht reell sind, ist es naheliegend, $y'(x)=Ay(x)$ im $\SetC^p$ statt im $\SetR^p$ zu betrachten. Sei $y:=\xi+i\eta$. F"ur die (weiterhin reelle) Matrix $A$ ist dann \[\Re \{Ay\}=A\xi\qquad \Im \{Ay\}=A\eta \] Fast alle Definitionen und S"atze aus Ana II "ubertragen sich w"ortlich, wenn man den $\SetC^p$ mit der Euklidnorm \[\norm y_C=\sqrt{\norm\xi^2+\norm\eta^2} \] versieht. Falls ein EW $\lambda_1\not\real$ zum EV $v\not\real^p$ existiert, so sind doch $\Re\{e^{\lambda_1x}v_1\}$ und $\Im\{e^{\lambda_1x}v_1\}$ reelle L"osungen. Allgemein gilt: Ist $y:I\to\SetC^p$ mit $y(x)=\xi(x)+i\eta(x)$ eine L"osung von $y'(x)=A(x)y(x)$, so gilt \[\xi'(x)+i\eta'(x)=A\xi(x)+iA\eta(x) \] Zu $A$ existiert nun ein $T\in\SetC^{p\times p}$ so, dass gilt $J:=T^{-1}AT$ und $J$ Jordan-Normalform besitzt. Dann ergibt sich $J^k=T^{-1}A^kT$ f"ur $k\natural$. und damit \[e^{xJ}=T^{-1}e^{xA}T \] wobei man, um $e^{xJ}$ zu berechnen, lediglich $e^{xJ_i}$ f"ur jedes Jordank"astchen $J_i$ (mit $j=1,\ldots,q$) einzeln berechnen muss, dies geht relativ einfach folgenderma"sen: Habe $J_i$ die Gr"o"se $r\times r$. Ist $r=1$, so haben wir kein Problem. Andernfalls betrachte die Matrix \[\tilde J_i:=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \] Damit ist $J_i=\lambda I+\tilde J_i$. F"ur $\tilde J_i^k$ ist zu beachten, dass die $1$er-Diagonale von $J_i^0=I$ aus gez"ahlt, um $k$ Schritte nach links unten ``gewandert'' ist. Damit ergibt sich sofort \[e^{x\tilde J_i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ x & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac {x^2} 2 & x & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac {x^{r-1}}{(r-1)!} & \cdot & \cdot & \cdots & 1 \end{pmatrix} \] und weiterhin $e^{xJ_i}=e^{\lambda x}e^{x\tilde J_i}$. Nun gilt: $T\cdot e^{xJ}=e^{xA}T$, und da nun $e^{xA}T$ ebenfalls ein Fundamentalsystem (bestehend aus LK der Spalten von $e^{xA}$), muss $Te^{xJ}$ ebenfalls eines sein. Wie oben gesehen, sind die Spalten von $Te^{xJ}$ Polynome mit Koeffizienten $q_i\in\SetC^p$ vom Grad $\leq r-1$, wobei $r$ in diesem Fall die Dimension des gr"o"sten zu einem EW $\lambda$ geh"origen Jordanblocks darstellen soll. Insgesamt ergibt sich also f"ur den Fall mehrfacher Eigenwerte das folgende } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Rechenverfahren bei mehrfachen Eigenwerten:{ Treten mehrfache Eigenwerte auf, so f"uhrt das schlichte Ausrechnen von Eigenwerten und -vektoren nicht mehr zwingend auf ein Fundamentalsystem. Sei $\lambda$ nun mehrfacher Eigenwert, w"ahle EV $v_1$ zu $\lambda$. Damit ist $y_1(x):=e^{\lambda x}v_1$ eine L"osung. N"achster Ansatz: $y_2(x):=e^{\lambda x}(xv_1+v_2)$, dies f"uhrt auf ein LGS f"ur $v_2$, n"amlich $(A-\lambda I)v_2=v_1$. Induktiv fortgesetzt ergibt sich der Ansatz \[y_i(x):=e^{\lambda x}\left(\sum_{j=0}^{i-1} \frac 1 {j!} v_{i-j} x^j\right) =e^{\lambda x}\left(\frac{v_i}{0!}+\frac{v_{i-1}x}{1!}+\cdots+\frac{v_1x^{i-1}}{(i-1)!}\right) \] der wiederum auf das LGS $(A-\lambda I)v_i=v_{i-1}$ f"uhrt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Explizite Dgl'en h"oherer Ordnung} % ----------------------------------------------------------------------------- \deduction "Ubertragung von Ergebnissen aus Ordnung 1:{ Sei $D\subseteq\SetR\times\SetR^{kp}$ und $f:D\to\SetR^p$. Wir betrachten die Dgl \begin{equation*} \tag{*} y^{(k)}=f(x,y(x),y^{(2)}(x),\ldots,y^{(k-1)}(x)) \end{equation*} Viele Ergebnisse "uber Dgl'en 1. Ordnung lassen sich folgenderma"sen auf $(*)$ "ubertragen: Betrachte $F:D\to\SetR^{kp}$ definiert durch \[F(x,z):=(z_2,z_3,\ldots,z_k,f(x,z)) \] Beachte $z=(z_1,\ldots,z_k)\in\SetR^{kp}$ mit $z_j\in\SetR^p$. Betrachte nun die zugeh"orige Dgl. 1. Ordnung \begin{equation*} \tag{**} z'(x)=F(x,z(x)) \end{equation*} gleichbedeutend mit \[\begin{pmatrix} z_1'(x)\\ \vdots \\ z_{k-1}'(x) \\ z_k'(x) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} z_2(x)\\ \vdots \\ z_k(x) \\ f(x,z_1(x),\ldots,z_k(x)) \end{pmatrix} \] Damit ist klar, wie sich eine L"osung einer Gleichung der Form $(*)$ in eine L"osung einer Gleichung der Form $(**)$ und umgekehrt verwandeln l"asst. In diesem Sinne sind $(*)$ und $(**)$ "aquivalent. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Lipschitz-Stetigkeit:{ \index{Stetigkeit>Lipschitz-} Sei $D=[a,b]\times\SetR^{kp}$, $f:D\to\SetR^p$. Weiter existiere ein $L>0$ so, dass \[(\forall (x,z),(x,\tilde z)\in D)(\norm{f(x,z)-f(x,\tilde z)}_1\leq L\norm{z-\tilde z}_2) \] Dann nennt man $f$ Lipschitz-stetig auf $D$ bzgl. der letzten $kp$ Perameter. (Achtung: $\norm\cdot_1$ ist Norm auf $\SetR^p$, $\norm\cdot_2$ dagegen Norm auf $\SetR^{kp}$) } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Picard-Lindel"of: $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR^{kp},\SetR^{p})$ Lipschitz-stetig bez"uglich der letzten $kp$ Parameter=>{ \index{Picard-Lindel"of>Satz von} Dann ist das AWP \[y^{(k)}=f(x,y(x),y^{(2)}(x),\ldots,y^{(k-1)}(x))\qquad y^{(i)}(x_0)=y_i\;(0\leq i\leq i-1) \] (mit $x_0\in[a,b],y_i\in\SetR^p$ fest) eindeutig l"osbar auf $[a,b]$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Peano: $D\subseteq\SetR^p$ offen, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$, $(x_0,y_0,\ldots,y_{k-1})\in D$=>{ \index{Peano>Satz von} Dann besitzt das AWP \[y^{(k)}=f(x,y(x),y^{(2)}(x),\ldots,y^{(k-1)}(x))\qquad y^{(i)}(x_0)=y_i\;(0\leq i\leq i-1) \] (mit $x_0\in[a,b],y_i\in\SetR^p$ fest) eine L"osung. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Lineare Differentialgleichungen $k$-ter Ordnung} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Lineare Differentialgleichung (III):{ \index{Differentialgleichung>lineare}% \index{Differentialgleichung>homogene}% \index{Differentialgleichung>inhomogene}% \index{Lineare Differentialgleichung}% \index{Homogene Differentialgleichung}% \index{Inhomogene Differentialgleichung}% Eine Gleichung der Form \begin{equation*} \tag{*} y^{(k)}(x)+\sum_{i=0}^{k-1}a_iy^{(i)}(x)=r(x) \end{equation*} mit $a_i,r\in\SetCont([a,b],\SetR)$. hei"st lineare Differentialgleichung $k$-ter Ordnung. Bezeichnung: $(*)$ hei"st homogen $\equiv$ $r=0$, ansonsten inhomogen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Beachte: \begin{itemize} \item Hier ist $f:[a,b]\to\SetR$ die Funktion \[f(x,z_1,\ldots,z_k)=r(x)-\sum_{i=0}^{k-1}a_i(x)z_{i+1} \] \item $f$ erf"ullt gerade die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindel"of. Damit ist $(*)$ eindeutig l"osbar auf $[a,b]$. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Der homogene Fall $(r=0)$:{ Das zugeh"orige System 1. Ordnung ist $z'(x)=A(x)z(x)$ mit $A(x)\in\SetCont([a,b],\SetR^{p\times p}$ und \[A(x):=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_0(x) & -a_1(x) & -a_2(x) & \dots & -a_{k-1}(x) \end{pmatrix} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $r=0$, $V=\{y\in\SetCont^k([a,b],\SetR)\mid y \text{ l"ost } (*)\}$=>{ Dann ist $V$ VR und es gilt $\dim V=k$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Auch hier hei"st jede Basis von $V$ \indexthis{Fundamentalsystem}. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Lineare Dgl'en $k$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten} % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Falls $a_0,\ldots,a_{k-1}\in\SetR$ nicht von $x$ abh"angen, ist \[A:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{k-1} \end{pmatrix} \] eine $k\times k$-Matrix mit dem charakteristischen Polynom \[p(x):=\det(A-\lambda I)=(-1)^k(\lambda^k+a_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+\lambda a_1+a_0) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $\lambda$ $r$-fache Nullstelle von $p(x)$=>{ Dann entsprechen $\lambda$ die $r$ L"osungen \[e^{\lambda x},xe^{\lambda x},\dots,x^{r-1}e^{\lambda x}\qquad (x\real) \] Ist dabei $\lambda=\xi+i\eta\not\real$, so erh"alt man $2r$ L"osungen \[x^qe^{\xi x}\cos(\eta x),x^qe^{\xi x}\sin(\eta x) \qquad (x\real,q=0,\ldots,r-1) \] Dabei streicht man diejenigen $r$ L"osungen, die zu $\conjug \lambda$ geh"oren. Auf diese Weise erh"alt man ein reelles FS f"ur die homogene Dgl \[y^{(k)}(x)+\sum_{i=0}^{k-1}a_iy^{(i)}(x)=0 \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Im Falle der Inhomogenit"at:{ Bei speziellen $r(x)$ (z.B. bei Kombinationen aus Polynomen, Exponential- und trigonometrischen Funktionen) kommt man evtl. mit besonderen Ans"atzen durch, die in der Regel recht "ahnlich zu $r(x)$ aussehen, evtl. noch mit einem Polynom/Faktor multipliziert. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Potenzreihenentwicklung von L"osungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Mehrdimensionale Potenzreihe:{ \index{Potenzreihe>mehrdimensionale} Seien $a_{jk}\real$ ($j,k\nnatural$) und $(x_0,y_0)\in\SetR^2$. Dann hei"st \[f(x,y):=\sum_{j,k=0}^\infty a_{jk}(x-x_0)^j(y-y_0)^k \] eine zweidimensionale Potenzreihe und weiterhin $f(x,y)$ in eine Potenzreihe entwickelbar, falls die Reihe in einer $\epsilon$-Umgebung von $(x_0,y_0)$ absolut konvergiert. Definition f"ur mehr Dimensionen analog. } % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Seien $D\subseteq\SetR\times\SetR$ offen, $(x_0,y_0)\in D$ und $f\in\SetCont^\infty(D,\SetR)$ eine Funktion, die in einer Umgebung von $(x_0,y_0)$ in eine Potenzreihe entwickelbar ist, sei also \[f(x,y)=\sum_{j,k=0}^\infty a_{jk}(x-x_0)^j(y-y_0)^k \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Ohne weitere Umst"ande erhalten wir, dass das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ eindeutig l"osbar ist, denn aus der $\SetCont^\infty$-Eigenschaft von $f$ folgen unmittelbar Stetigkeit und lokale Lipschitz-Stetigkeit. } % ----------------------------------------------------------------------------- \deduction Majorantenmethode:{ \index{Majorantenmethode} Sei also nun $I:=(\omega_-,\omega_+)$ und $y:I\to\SetR$ die L"osung. Ist $y$ in der N"ahe von $x_0$ in eine PR entwickelbar? Ja, dies kann mit Hilfe des folgenden Verfahrens gezeigt werden. Zun"achst einmal kann das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ durch $z(x):=y(x+x_0)-y_0$ so transformiert werden, dass gilt: $z'(x)=f(x,z(x)),z(0)=0$. Daher betrachten wir im Folgenden o.B.d.A. den Fall, dass $(x_0,y_0)=(0,0)$ ist. \begin{align*} y''(x)=&f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))f(x,y(x))\\ y'''(x)=&f_{xx}(x,y(x))+f_{xy}(x,y(x))f(x,y(x))+f_{yx}(x,y(x))f(x,y(x))+\\ &f_{yy}(x,y(x))(f(x,y(x)))^2+\\ &f_y(x,y(x))(f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x)))f(x,y(x)) \end{align*} Beobachtung: $y^{(k)}(x)$ kann f"ur jedes $k\natural$ dargestellt werden als endliche Summe von nichtnegativen Vielfachen von Produkten der Art $f(x,y(x))\cdot g(x,y(x))$, wobei $g$ eine partielle Ableitung von $f$ ist. Beachte, dass unter den gegebenen Voraussetzungen gilt: ($a_{jk}$ waren die Koeffizienten der Potenzreihe von $f$) \[a_{jk}=\frac 1 {j!k!} \left( \frac{\partial^j}{\partial x^j} \frac{\partial^k}{\partial y^k} f\right)(0,0) \] Somit erh"alt man speziell f"ur $x=x_0=0$ einige Abh"angigkeiten zwischen den $a_{jk}$ und den folgenderma"sen definierten \[a_n:=\frac{y^{(n)}(0)}{n!} \] und zwar z.B. (Beachte: Die Fakult"aten dienen lediglich zur Korrektur der entsprechenden Vorfaktoren der $a_{jk}$ und $a_n$) \begin{align*} a_0&=0,a_1=f(0,0)=a_{00}\\ a_2&=\frac 1 {2!} (a_{10}+a_{01}a_{00})\\ a_3&=\frac 1 {3!} (2!a_{20}+2!a_{00}a_{11}+2!a_{02}a_{00}^2+a_{10}a_{01}+a_{01}^2a_{00}) \end{align*} Also sind die $a_n$ darstellbar als Summe von nichtnegativen Vielfachen von Produkten der $a_jk$. Wegen $\limes {j,k}->\infty |a_{jk}|\epsilon^j\epsilon^k=0$ existiert ein $M>0$ so, dass $|a_{jk}|\epsilon^j\epsilon^k\leq M$ f"ur alle $j,k\nnatural$. Man setzt nun \[A_{jk}:=\frac M {\epsilon^j\epsilon^k} \] in einer Reihe \[F(x,y):=\sum_{j,k=0}^\infty A_{jk} x^jy^k =\sum_{j,k=0}^\infty \frac M {\epsilon^j\epsilon^k} x^jy^k \] Es gilt $|a_{jk}|\leq A_{jk}$. Sei au"serdem $\epsilon>0$ so, dass $F$ absolut konvergent f"ur alle $(x,y)\in(-\epsilon,\epsilon)^2$. F"ur $F$ l"asst sich ein expliziter Ausdruck angeben. Weil $F$ absolut konvergiert, gilt folgende Umordnung: \[F(x,y)=M \sum_{j=0}^\infty \left(\frac x \epsilon\right)^j\sum_{k=0}^\infty \left(\frac y \epsilon\right)^k =\frac M {\left(1-\frac x \epsilon\right)\left(1-\frac y \epsilon\right)} \] Mit Hilfe des Verfahrens f"ur Differentialgleichungen mit getrennten Ver"anderlichen erhalten wir eine L"osung des AWP $w'(x)=F(x,y(x)),w(0)=0$, n"amlich \[w(x)=\epsilon-\epsilon\sqrt{1+2M\log\left(1-\frac x \epsilon\right)} \] Mit Hilfe der beiden Potenzreihenentwicklungen \begin{align*} \log(1-t)&=\sumn 1 -\frac {t^n}n\\ \sqrt{1+t}&=\sumn 0 \combover{\frac 1 2}n t^n \end{align*} "uberlegt man sich leicht, dass $w(x)$ um $0$ eine Potenzreihendarstellung mit Konvergenzradius $R<\epsilon$ besitzt. F"ur \[A_n:=\frac{w^{(n)}(0)}{n!} \] folgt aus obigen Formeln $|a_n|\leq A_n$ auf die folgende Art und Weise (hier als Beispiel f"ur $A_2$) \begin{multline*} |a_2|=\frac 1 2|a_{10}+a_{01}+a_{00}| \leq \frac 1 2 (|a_10|+|a_{01}|+a_{00}|)\\ \leq \frac 1 2 (A_{10}+A_{01}+A_{00}) = A_2 \end{multline*} (wesentlich: die Nichtnegativit"at der Vorfaktoren in den obigen Summen!) Deswegen hat auch die Reihe \[\tilde y(x)=\sumn 0 a_n x^n \] mindestens den Konvergenzradius $R$. (Bem: Es gilt $|w(x)|<\epsilon$ auf $U_R(0)$ wegen der L"osbarkeitseigenschaften von $w'(x)=F(x,w(x))$) Es bleibt nun zu zeigen, dass gilt $y=\tilde y$ auf $U_R(0)$ gilt. Da $\tilde y'(x)$ und $f(x,\tilde y)$ Potenzreihen mit Konvergenzradien $\geq R$ sind und da die $a_n$ so bestimmt sind, dass \[(\tilde y')^{(n)}(0)=\tilde y^{(n+1)}=\frac {d^n}{dx^n} f(x,\tilde y(x))|_{x=0} \qquad (n\nnatural) \] folgt $\tilde y'(x)=f(x,\tilde y(x))$ ($x\in U_R(0)$), Weiter ist $\tilde y(0)=a_0=0$. Wegen der Eindeutigkeit der L"osung des AWPs folgt nun $y(x)=\tilde y(x)$ auf $U_R(0)$. Beachte: diese Methode funktioniert in analoger Weise auch f"ur Systeme und Dgl'en h"oherer Ordnung. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Generell ist der Potenzreihen-Ansatz (unabh"angig von obiger Theorie) ein L"osungsverfahren f"ur AWPe, wenn man nachweisen kann, dass eine formal berechnete PRe eine L"osung darstellt. Solche formalen Potenzreihen erh"alt man wegen des Identit"atssatzes f"ur Potenzreihen induktiv durch Koeffizientenvergleich in der durch das AWP $y'(x)=f(x,y(x))$ (implizit) gegebenen Rekursionsformel. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Stetige Abh"angigkeit von L"osungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $f,f_k\in\SetCont([a,b]\times\SetR^p,\SetR^p)$ mit $\norm{f_k(x,y)}\leq M$ ($k\natural,(x,y)\in[a,b]\times\SetR^p$), $\limes k->\infty f_k(x,y)=f(x,y)$ glm auf $[a,b]\times \closure{U_{M(b-a+1)}(0)}$. $(x_{0k})_{k=1}^\infty\subset [a,b]$, $(y_{0k})_{k=1}^\infty\subset\closure{U_M(0)}$, $(y_k)_{k=1}^\infty\subset\SetCont([a,b],\SetR^p)$ Funktionenfolge mit $y_k'(x)=f_k(x,y_k(x)),y_k(x_{0k})=y_{0k}$ f"ur $k\natural$=>{ Dann besitzt $(y_k)$ eine auf $[a,b]$ gleichm"a"sig konvergente Teilfolge, deren Grenzfunktion $y:[a,b]\to\SetR^p$ L"osung der Dgl $y'(x)=f(x,y(x))$ auf $[a,b]$ ist. Gilt zus"atzlich $x_{0k}\to x_0$, $y_{0k}\to y_0$ f"ur $k\to\infty$ und ist das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ eindeutig l"osbar, so konv. $(y_k)$ glm gegen die L"osung des AWP. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $R>0$, $y_0\in\SetR^p$, $f\in\SetCont([a,b]\times U_R(y_0),\SetR^p)$. $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ eindeutig l"osbar auf $[a,b]$, $y:[a,b]\to\SetR^p$ die L"osung=>{ Dann existiert zu jedem $\epsilon>0$ ein $\delta>0$ mit folgenden Eigenschaften: Sind $\tilde f\in\SetCont([a,b]\times U_R(y_0),\SetR^p)$, $\tilde y_0\in U_R(y_0),\tilde x_0\in[a,b]$ und gilt \[\norm{f(x,y)-\tilde f(x,y)}\leq\delta \qquad (x,y)\in[a,b]\times U_R(y_0) \] weiterhin $\norm{y_0-\tilde y_0}<\delta$, $|x_0-\tilde x_0|<\delta$, so gilt f"ur jede nicht fortsetzbare L"osung $\tilde y:J\to\SetR^p$ des AWPs $\tilde y'(x)=\tilde f(x,\tilde y(x)),\tilde y(\tilde x_0)=\tilde y_0$: $J=[a,b]$ und $\norm{y(x)-\tilde y(x)}<\epsilon$ f"ur $x\in[a,b]$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \lessertheorem: $D=[a,b]\times\SetR^p$, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$ und $f$ Lipschitz-stetig bzgl. $y$ mit Konstante $L$=>{ Beachte: Obige Voraussetzungen entsprechen gerade denen des Satzes von Picard-Lindel"of. Betrachte die AWP'e \begin{align*} y_1'(x)&=f(x,y_1(x)),y_1(x_0)=y_{01}\\ y_2'(x)&=f(x,y_2(x)),y_2(x_0)=y_{02} \end{align*} Dann ergibt sich, dass \[\norm{y_1(x)-y_2(x)}\leq e^{L(b-a)}\norm{y_{01}-y_{02}}\qquad (x\in [a,b]) \] (etwa ``Lipschitz-stetige Abh"angigkeit vom Anfangswert'') Daher ergibt sich die stetige Abh"angigkeit der L"osung des AWP vom Anfangswert in folgender Form: \[\epsn(\exists \delta>0)(\norm{y_{01}-y_{02}}<\delta\implies \norm{y_1-y_2}_\infty<\epsilon) \] (W"ahle $\delta:=\frac\epsilon{e^{L(b-a)}}$) } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Differentialungleichungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Gelte stets $p=1$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR^2$ beliebig, $f:D\to\SetR$, $u,v\in\SetCont^1([a,b],\SetR)$ mit $(x,u(x)),(x,v(x))\in D$ f"ur $x\in[a,b]$,$u(a)\leq v(a)$, $u'(x)-f(x,u(x)){ \label{the:diff-ineq} Dann gilt $u(x){ \label{the:ode-extremal} Dann besitzt das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ eine gr"o"ste nach rechts nicht fortsetzbare L"osung $\overline y:[x_0,\overline\omega_+)\to\SetR$ und eine kleinste nach rechts nicht fortsetzbare L"osung $\underline y:[x_0,\underline\omega_+)\to\SetR$, so dass f"ur jede nicht fortsetzbare L"osung $y:[x_0,\omega_+)\to\SetR$ mit $\eta^*:=\min\{\overline\omega_+,\underline\omega_+\}$ gilt $\omega_+\geq\eta^*$ und $\underline y\leq y\leq\overline y$ auf $[x_0,\eta^*)$. Die L"osungen $\overline y,\underline y$ sind dabei eindeutig bestimmt und monoton wachsend vom Anfangswert abh"angig. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Dazu gibt es zu sagen: \begin{stmts} \item Ist das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ f"ur jedes $y_0\in\SetR$ nach rechts eindeutig l"osbar, so h"angt die L"osung monoton wachsend vom AW ab. \item Eine entsprechende "Uberlegung ist nat"urlich auch ``nach links'' m"oglich. \item Der anschlie"sende \ref{the:ode-extremal-weak} ist eine Abschw"achung von \ref{the:ode-extremal}. \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR,\SetR)$ und beschr"ankt, $y_0\in\SetR$=>{ \label{the:ode-extremal-weak} Dann besitzt das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(a)=y_0$ eine gr"o"ste und eine kleinste L"osung $\overline y,\underline y:[a,b]\to\SetR$. Diese sind eindeutig bestimmt und monoton wachsend vom Anfangswert abh"angig. } % ----------------------------------------------------------------------------- \lessertheorem: $f\in\SetCont([a,b],\SetR)$ lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$, $u,v\in\SetCont^1([a,b],\SetR)$ mit $u'(x)-f(x,u(x))<0{ Dann ist das AWP $y'(x)=f(x,y(x))$ eindeutig l"osbar und die L"osung $y:[a,b]\to\SetR$ dieses AWP's erf"ullt \[u(x)\leq y(x)\leq v(x) \qquad (x\in[a,b]) \] In diesem Fall hei"sen $u,v$ wieder Ober- bzw \indexthis{Unterfunktion} \index{Oberfunktion} des AWP. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Randwertprobleme} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Randwertproblem 2. Ordnung:{ Sei $D\subseteq\SetR^{2p}$ und $f:[a,b]\to\SetR^p$ eine Funktion. Das Randwertproblem/\indexthis{RWP} besteht darin, Funktionen $y:[a,b]\to\SetR^p$ zu finden mit \[\left\{\begin{array}{l} y''(x)=f(x,y(x))y'(x))\\ R_a(y)=0\qquad R_b(y)=0 \end{array}\right. \] Dabei sind $R_a(y)$ und $R_b(y)$ Bedingungen f"ur $x=a$ und $x=b$. Typische Beispiele sind mit $\gamma\real$ etwa: \begin{center}\begin{tabular}{lll} $R_a(y)=y(a)-\gamma$ & Randbedingung 1. Art & Dirichlet'sche RB \\ $R_a(y)=y'(a)-\gamma$ & Randbedingung 2. Art & Neumann'sche RB \\ $R_a(y)=\alpha_1y(a)+\alpha_2y'(a)-\gamma$ & Randbedingung 3. Art & Gemischte RB \end{tabular}\end{center} Im folgenden betrachten wir meist den Fall $p=1$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Es k"onnen jede Menge F"alle auftreten: \begin{itemize} \item $y''(x)-\pi^2y(x)$, $y(0)=0$, $y(1)=0$ $\implies$ $y(x)=c\sin(\pi x)$, $c\real$ \item $y''(x)-\pi^2y(x)+1$, $y(0)=0$, $y(1)=0$ $\implies$ keine L"osung \item $y''(x)-\pi^2y(x)$, $y(0)=0$, $y'(1)=0$ $\implies$ $y(x)=0$ eindeutig \end{itemize} wobei in jedem Fall von den m"oglichen L"osungen der Dgl ausgegangen wird. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der lineare Fall} % ----------------------------------------------------------------------------- \deduction L"osbarkeit von linearen RWP:{ Seien $r,a_0,a_1\in\SetCont([a,b],\SetR)$. Wir betrachten das RWP \[(*)\left\{\begin{array}{l} y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=r(x)\\ \alpha_1y(a)+\alpha_2y'(a)=\gamma_a\\ \beta_1y(b)+\beta_2y'(b)=\gamma_b\\ \end{array}\right. \] Seien dabei $\alpha_i,\beta_i\real,\alpha_1^2+\alpha_2^2>0, \beta_1^2+\beta_2^2>0$. Nun sei $y_1,y_2:[a,b]\to\SetR$ ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung \[y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0 \] und $y_s:[a,b]\to\SetR$ eine L"osung der Dgl in $(*)$. Die L"osung dieser Dgl sind also Funktionen der Form $y=y_s+c_1y_1+c_2y_2$ mit $c_1,c_2\real$. Die Randbedingungen sind genau dann erf"ullt, wenn $\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}$ L"osung des folgenden LGS ist: \[\left(\begin{array}{ll|l} \alpha_1y_1(a)+\alpha_2y_1'(a) & \alpha_1 y_2(a)+\alpha_2y_2'(a) & \gamma_a-\alpha_1y_s(a)-\alpha_2y_s'(a)\\ \beta_1y_1(b)+\beta_2y_1'(b) & \beta_1 y_2(b)+\beta_2y_2'(b) & \gamma_a-\beta_1y_s(b)-\beta_2y_s'(b)\\ \end{array}\right) \] Bezeichnet man die linke $2\times 2$-Matrix mit $R$, so folgt, dass $(*)$ genau dann eindeutig l"osbar ist, wenn $R$ regul"ar ist. Daher kann die Regularit"at von $R$ nicht vom gew"ahlten Fundamentalsystem abh"angen. $(*)$ ist insbesondere genau dann eindeutig l"osbar, wenn es f"ur das folgende zugeh"orige, sogenannte ``homogene'' RWP nur die triviale L"osung gibt: \index{homogenes Randwertproblem} \index{Randwertproblem>homogenes} \[(**)\left\{\begin{array}{l} y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0\\ \alpha_1y(a)+\alpha_2y'(a)=0\\ \beta_1y(b)+\beta_2y'(b)=0\\ \end{array}\right. \] Hat man also ein Fundamentalsystem f"ur die Dgl in einem Randwertproblem der Art $(*)$ gefunden, so ist die eindeutige L"osbarkeit gleichwertig mit der Frage nach der Regularit"at von $R$. Falls $(**)$ mehrdeutig l"osbar ist, ist wegen $\alpha_1^2+\alpha_2^2>0, \beta_1^2+\beta_2^2>0$ die L"osungsmenge ein Vektorraum der Dimension $1$. In diesem Fall ist $(*)$ mehrdeutig oder nicht l"osbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Nichtlineare Randwertprobleme} % ----------------------------------------------------------------------------- \deduction Das Dirichlet-Randwertproblem:{ Sei $f\in\SetCont([0,1]\times\SetR,\SetR)$ und \[(*)\left\{\begin{array}{l} y''(x)=f(x,y(x))\\ y(0)=0,y(1)=0 \end{array}\right. \] Man kann $(*)$ wie folgt in eine Integralgleichung umschreiben: Wir betrachten die Funktion $G:[0,1]^2\to\SetR$ mit \[G(x,\xi)=\begin{cases} \xi(x-1)& 0\leq\xi\leq x\leq 1\\ x(\xi-1)& 0\leq x\leq\xi\leq 1\\ \end{cases} \] $G$ ist stetig. Weiterhin betrachten wir die Abbildung $T:\SetCont([0,1],\SetR)\to\SetCont([0,1],\SetR)$ mit \[T(u)(x):=\int_0^1G(x,\xi)f(\xi,u(\xi))d\xi \] Dann gilt: F"ur jedes $u\in\SetCont([0,1],\SetR)$ ist $T(u)\in\SetCont^2([0,1],\SetR)$, $T(u)(0)=T(u)(1)=0$ (wegen $G(0,\xi)=G(1,\xi)=0$ f"ur $\xi\in[0,1]$) und $T''(u)(x)=f(x,u(x))$ (nachrechnen). Damit gilt: \begin{displaytext} $y\in\SetCont^2([0,1],\SetR)$ ist eine L"osung von $(*)$ $\equiv$ $y\in\SetCont([0,1],\SetR),T(y)=y$ \end{displaytext} ``$\implies$'' wurde nur f"ur eindeutig l"osbare RWPe gerechtfertigt, dort gilt f"ur die L"osung obige Gleichheit notwendigerweise. Allgemein hei"st ein solches $G$ eine \indexthis{Green'sche Funktion}. \index{Funktion>Green'sche} Man kann auch andere RWP'e mit Hilfe Green'scher Funktionen in Integralgleichungen umschreiben, z.B. obiges Problem f"ur ein beliebiges Intervall $[a,b]$ mit: \[G(x,\xi)=\begin{cases} \frac 1a\xi(x-a)& 0\leq\xi\leq x\leq a\\ \frac 1ax(\xi-a)& 0\leq x\leq\xi\leq a\\ \end{cases} \] (Mehr zu Green'schen Funktion in Walter, Gew"ohnliche Differentialgleichungen, Kapitel 26) } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR,\SetR)$, $f$ Lipschitz-stetig bzgl. $y$ mit Lipschitz-Konstante $L<\frac{\pi^2}{(b-a)^2}$=>{ Dann ist das RWP \[\left\{\begin{array}{l} y''(x)=f(x,y(x))\\ y(a)=0,y(b)=0 \end{array}\right. \] eindeutig l"osbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Am Beispiel am Anfang des Kapitels sieht man, dass die gegebene Schranke wirklich optimal ist. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Scorza-Dragoni: $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR,\SetR)$ mit $\norm f_\infty\leq M>0$=>{ \label{the:scorza} \index{Scorza-Dragoni>Satz von} Dann besitzt das RWP \[\left\{\begin{array}{l} y''(x)=f(x,y(x))\\ y(a)=0,y(b)=0 \end{array}\right. \] eine L"osung. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Erg"anzend ist folgendes zu sagen: \begin{itemize} \item Die L"osung ist nicht notwendigerweise eindeutig. Beispiel: Betrachte \[f(y)=\begin{cases} 1 & y\leq -1\\ -y & -1{ \index{Brouwer>Fixpunktsatz von} Dann hat $f$ einen Fixpunkt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \lessertheorem Fixpunktsatz von Schauder: $(E,\norm\cdot)$ Banachraum, $\emptyset\neq K\subseteq E$ kompakt und konvex, $\closure{f(K)}$ kompakt=>{ \index{Brouwer>Fixpunktsatz von} Dann hat $f$ einen Fixpunkt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Leichte Verallgemeinerung von \ref{the:scorza}:{ Aus \ref{the:scorza} erh"alt man auch die L"osbarkeit von RWPen der Form \begin{equation} \tag{*}y''(x)=f(x,y(x)),y(a)=\gamma_a,y(b)=\gamma_b \end{equation} mit stetigem und beschr"anktem $f$. Betrachte dazu \[\tilde f(x,z)=f(x,z+\gamma_b\frac{x-a}{b-a}+\gamma_a\frac{b-x}{b-a}) \] Nach \ref{the:scorza} ist also \[z''(x)=f(x,z(x)),z(a)=0,z(b)=0 \] l"osbar, sei $z$ diese L"osung. Betrachte dann $y:[a,b]\to\SetR$ mit \[y(x):=z(x)+\gamma_b\frac{x-a}{b-a}+\gamma_a\frac{b-x}{b-a} \] Dann ist offenbar $y(x)$ L"osung von $(*)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Autonome Differentialgleichungen und Stabilit"at} % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Gegenstand der Betrachtung:{ Sei $D\subseteq\SetR^p$, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$. Wir betrachten \begin{equation*} \tag{*} y'(x)=f(y(x)),y(x_0)=y_0 \end{equation*} mit $x_0\real,y_0\in D$. Man beobachtet zun"achst folgendes: \begin{itemize} \item $f(y_0)=0$ $\implies$ $y\ident y_0$ ist L"osung. \item Ist $y:[x_0,\infty)\to\SetR^p$ L"osung von $(*)$, so ist f"ur jedes $\xi\real$ auch $z:[x_0-\xi,\infty)\to\SetR^p$ mit $z(x):=y(x+\xi)$ eine L"osung der Dgl. in $(*)$ (jedoch i.a. nicht des AWP) \item Ist $y:[x_0,\infty)\to\SetR^p$ eine L"osung von $(*)$ und existiert $\limes x->\infty y(x)\in D$, so gilt $f(\limes x->\infty y(x))=0=\limes x->\infty y'(x)$. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Gleichgewicht:{ Sei $D\subseteq\SetR^p$, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$ und \begin{equation*} \tag{*} y'(x)=f(y(x)) \end{equation*} Eine Stelle $y_0\in D$ mit $f(y_0)=0$ hei"st \indexthis{Gleichgewichtspunkt}, die dazugeh"orige L"osung $y\ident y_0$ \indexthis{Gleichgewichtsl"osung} der Differentialgleichung. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Stabilit"at:{ Sei $D\subseteq\SetR^p$ offen, $f\in\SetCont(D,\SetR^p)$ und $y_0\in D$ eine Nullstelle von $f$. Dann hei"st \begin{stmts} \item $y_0$ \indexthis{stabiler Gleichgewichtspunkt} \index{Gleichgewichtspunkt>stabiler} $:\equiv$ F"ur jedes $\epsilon>0$ existiert ein $\delta>0$ so, dass falls f"ur $y_1\in D$ mit $\norm{y_1-y_0}<\delta$ und $y:[x_0,\omega_+)\to\SetR^p$ eine nach rechts nicht fortsetzbare L"osung des AWPs $y'(x)=f(y(x)),y(x_0)=y_1$ folgt $\omega_+=\infty$ und $\norm{y(x)-y_0}<\epsilon$ f"ur $x\geq x_0$. \item $y_0$ \indexthis{instabiler Gleichgewichtspunkt} \index{Gleichgewichtspunkt>instabiler} $:\equiv$ $y_0$ nicht stabil. \item $y_0$ \indexthis{asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt} \index{Gleichgewichtspunkt>asymptotisch stabiler} $:\equiv$ wie (1), lediglich folgt zus"atzlich, dass $\limes x->\infty y(x)=y_0$. \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Aha! Es ist folgendes zu beobachten: \begin{itemize} \item Die Definition ist unabh"angig von der gew"ahlten Norm und der Wahl der Anfangsstelle $x_0$. \item Nach Definition gilt ``asymptotisch stabil $\implies$ stabil''. Die Eigenschaft $\limes x->\infty y(x)=y_0$ gen"ugt jedoch im Gegenzug nicht f"ur Stabilit"at. \item $y_0$ stabil $\implies$ AWP $y'(x)=f(y(x)),y(x_0)=y_0$ eindeutig l"osbar, weil jede tats"achlich verschiedene L"osung irgendwann einmal die in der Def. erw"ahnte $\epsilon$-Umgebung verl"asst. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Ein Stabilit"atssatz} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR^p$ offen, $f\in\SetCont^1(D,\SetR^p)$, $y_0\in D$, $f(y_0)=0$, f"ur jeden EW $\lambda\complex$ von $f'(y_0)\in\SetR^{p\times p}$ gelte $\Re\{\lambda\}<0$=>{ \label{the:stability} Dann ist $y_0$ asymptotisch stabil. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Ist $A\in\SetR^{p\times p}$ mit $\Re\{\lambda\}<0$ f"ur alle EWe $\lambda$ von $A$, so ist nach \ref{the:stability} $y_0=0$ asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt von $y'(x)=Ay(x)$. Dies folgt auch nach Paragraph \ref{sec:linear-const-system}. Beachte: Falls die EW-Bedingung gilt, ist $A$ regul"ar, also $0$ einziger Gleichgewichtspunkt. Zum Beweis von \ref{the:stability} verwenden wir den folgenden Hilfssatz: } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $A\in\SetR^{p\times p}$ $c\real$ so, dass f"ur alle EWe $\lambda\complex$ von $A$ gilt: $\Re\{\lambda\}{ Dann existiert ein Skalarprodukt mit \[\iprod y {Ay} \leq c\norm{y}_0^2 \] dabei sei $\norm{\cdot}_0$ die von $\iprod \cdot \cdot $ erzeugte Norm. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Ein Instabilit"atssatz} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR^p$ offen, $f\in\SetCont^1(D,\SetR^p)$, $y_0\in D$ mit $f(y_0)=0$. Es existiere ein EW $\lambda$ von $f'(y_0)$ mit $\Re\{\lambda\}>0$=>{ Dann ist $y_0$ ein instabiler Gleichgewichtspunkt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Charakterisierung der Stabilit"at bei linearen Systemen:{ Im Falle $\Re\lambda\leq 0$ f"ur alle EWe der Matrix $A\in\SetR^{p\times p}$ k"onnen "uber die Stabilit"at der 0 als Gleichgewichtspunkt von $y'(x)=Ay(x)$ folgende Aussagen gemacht werden: \begin{itemize} \item Existiert zu einem EW $\lambda=0$ ein nichttrivialer Jordanblock (also einer, der Einsen au"serhalb der Diagonalen hat), so ist die $0$ instabil. \item Sind alle Jordanbl"ocke zu EWen $\lambda$ mit $\Re\lambda=0$ trivial, so ist die $0$ stabil. \end{itemize} Diese Ergebnisse k"onnen leicht auch auf andere Gleichgewichtspunkte $x\neq 0$ "ubertragen werden, w"ahrend die "Ubertragung auf nichtlineare Systeme in dieser Form nicht m"oglich ist. (Bsp. $y'(x)=\pm y^3(x)$ wird im Fall ``$-$'' bei $0$ asympt. stabil, im Fall ``$+$'' allerdings instabil) } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Liapunov-Funktionen} % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Sei $D\subseteq\SetR^p$ offen, $f:D\to\SetR^p$ sei lokal Lipschitz-stetig. Wir nehmen o.B.d.A. $0\in D$ und $f(0)=0$ an. (sonst Transformation) } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Liapunov-Funktion:{ \index{Funktion>Liapunov-} Eine stetige Funktion $V:U_r(0)\to\SetR$ mit $U_r(0)\subseteq D$ hei"st Liapunov-Funktion (in $0$) $:\equiv$ \begin{stmts} \item $V\in\SetCont^1(U_r(0),\SetR)$ \item $V(0)=0$, $V(y)>0$ f"ur alle $y\in U_r(0)\setminus\{0\}$ \item $\grad V(y)\cdot f(y)\leq 0$ f"ur alle $y\in U_r(0)$. \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D$ offen, $0\in D$, $y'(x)=f(x,y(x))$ mit $f:D\to\SetR^p$ lokal Lipschitz-stetig, besitze eine Liapunov-Funktion $V:U_r(0)\to\SetR$=>{ Dann ist $0$ stabiler Gleichgewichtspunkt. Gilt zus"atzlich $\grad V(y)\cdot f(y)<0$ f"ur alle $y\in U_r(0)\setminus\{y_0\}$, so ist $0$ sogar asymptotisch stabil. } % ----------------------------------------------------------------------------- \trick Ansatz f"ur Liapunov-Funktionen:{ Bei einfach aufgebauten Funktionen (z.B. Polynomen) f"uhren oft Polynomans"atze mit geraden Exponenten zum Erfolg. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der Satz von Chetaev} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Chetaev: $D\subseteq\SetR^p$ offen, $f:D\to\SetR^p$ lok. Lipschitzstetig und $f(0)=0$. Existiere ein $\epsilon_0>0$ und $G\subseteq D$ offen mit $U_{\epsilon_0}(0)\subseteq D$, $0\in\rim G$ und $V\in\SetCont(\closure G,\SetR)\cap\SetCont^1(G,\SetR)$. =>{ \label{the:chetaev} \index{Chetaev>Satz von} Gilt f"ur $V$, dass \begin{itemize} \item $V(y)>0$ f"ur alle $y\in G$, $V(y)\leq M$ f"ur alle $y\in\closure G$ und ein $M>0$ \item $\grad V(y)\cdot f(y)\geq h(V(y))$ f"ur eine Funktion $h:[0,M]\to\SetR$, die stetig, streng wachsend sein und $h(0)=0$ erf"ullen muss. \item $V(y)=0$ f"ur alle $y\in\rim G\cap U_{\epsilon_0(0)}$ \end{itemize} so ist $0$ instabiler Gleichgewichtspunkt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Gleichgewichtspunkte au"ser $0$:{ \ref{the:chetaev} gilt analog, wenn $0$ durch eine beliebige andere Nullstelle $y_0$ von $f$ ersetzt wird. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Wie findet man Differentialgleichungen?:{ Gegeben sei $\gamma\in\SetCont^1([0,\infty),\SetR^p)$. Betrachte dann \[f:\left\{\begin{array}{l} [0,\infty)\times\SetR^p\to\SetR^p\\ (x,y)\mapsto \norm{\gamma(x)-y}y+\gamma'(x) \end{array}\right. \] Dann ist $y=\gamma$ genau die L"osung des AWPs $y'(x)=f(x,y(x)),y(0)=\gamma(0)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Der Satz von Kneser} % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Zusammenh"angende Mengen} % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Sei $(V,\norm\cdot)$ ein NLR. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Zusammenhang:{ Sei $M\subseteq V$. \begin{itemize} \item $M$ hei"st \indexthis{wegzusammenh"angend} $:\equiv$ Sind $y,\tilde y\in M$, so existiert eine stetige Funktion $\gamma:[a,b]\to M$ mit $\gamma(a)=y,\gamma(b)=\tilde y$. \item $M$ hei"st \indexthis{unzusammenh"angend} $:\equiv$ Es gibt offene Mengen $O_1,O_2$ mit \begin{itemize} \item $M\subseteq O_1\cup O_2$ \item $O_1\cap O_2=\emptyset$ \item $M\cap O_j\neq\emptyset$ f"ur $j=1,2$ \end{itemize} \item $M$ hei"st \indexthis{zusammenh"angend} $:\equiv$ $M$ ist nicht unzusammenh"angend. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Verschiedenster Schnickschnack "uber zusammenh"angende Mengen:{ Man beobachtet: \begin{itemize} \item Jede endliche Teilmenge von $V$, die aus mehr als einem Punkt besteht, ist unzsuammenh"angend. \item Jede konvexe Menge ist wegzusammenh"angend, daher auch zusammenh"angend. \item Sind $M_1,M_2\subseteq V$ zusammenh"angend und nicht disjunkt, so ist $M_1\cup M_2$ zusammenh"angend, aber $M_1\cap M_2$ im allgemeinen nicht. (z.B. ``zwei W"urstchen'') \item Sei $V=\SetR$. Dann gilt $M\subseteq\SetR$ zusammenh"angend $\equiv$ $M$ wegzusammenh"angend $\equiv$ $M$ Intervall. \item $M\subseteq V$ wegzusammenh"angend $\implies$ $M$ zusammenh"angend. \item $M\subseteq V$ zusammenh"angend $\implies$ $\closure M$ zusammenh"angend. \item Ist $\dim V\geq 2$ (inklusive $\infty$), so ex. stets Mengen, die zusammenh"angend, aber nicht wegzusammenh"angend sind. Beispiel: $B:=\{(x,\sin x)\mid x\in (0,1]\}$ ist zwar noch beides, aber $\closure B$ nicht mehr. (Betr. z.B. Grenzwerte der Folgen der Maxima und Minima des Sinus-Graphen) \item Eine offene Teilmenge von $V$ ist zusammenh"angend $\equiv$ sie ist wegzusammenh"angend. \item $(V,\norm\cdot_1),(W,\norm\cdot_2)$ NLRe, $D\subseteq V$ offen, $M\subseteq D$ zusammenh"angend und $f\in\SetCont(D,W)$. Dann ist auch $f(M)$ zusammenh"angend. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der Satz von Kneser} % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Sei $f\in\SetCont([0,1]\times\SetR^p,\SetR^p)$ beschr"ankt (z.B. $\norm f_\infty\leq c$ mit $c>0$) Wir betrachten das AWP \begin{equation*} \tag{*} y'(x)=f(x,y(x)),y(0)=0 \end{equation*} (alle folgenden "Uberlegungen gelten nat"urlich auch f"ur allgemeine AWPe) Nach \ref{the:peano} (Peano) existiert jede nicht fortsetzbare L"osung von $(*)$ auf $[0,1]$. Sei \[M:=\{y:[0,1]\to\SetR\mid y \text{ l"ost $(*)$}\} \] $M$ hei"st auch L"osungs- oder \indexthis{Knesertrichter} \index{L"osungstrichter} zum AWP $(*)$. Wir betrachten den Banachraum $\SetCont([0,1],\SetR^p)$ mit der Maximumnorm auf $[0,1]$. Offenbar ist $M\subseteq\SetCont([0,1],\SetR^p)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Kneser:=>{ \label{the:kneser} \index{Kneser>Satz von} Unter obigen Bedingungen ist $M$ eine zusammenh"angende Teilmenge von $\SetCont([0,1],\SetR^p)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Man stellt fest: \begin{itemize} \item Sei $x_0\in[0,1]$ fest. Die Abbildung $P_{x_0}:\SetCont([0,1],\SetR^p)\to\SetR^p$ mit $P_{x_0}(u)\mapsto u(x_0)$ ist stetig. Mit $M$ ist daher auch $P_{x_0}(M)$ zusammenh"angend. Im Fall $p=1$ ist $P_{x_0}(M)$ ein beschr"anktes und abgeschlossenes Intervall, denn nach \ref{the:ode-extremal-weak} existiert zu dem betrachteten AWP eine gr"o"ste und eine kleinste L"osung $\overline y,\underline y:[0,1]\to\SetR$. Im Fall $p\geq 2$ ist $M$ i.a. kompliziert. \item Wir beweisen den Satz f"ur $p=1$. ($p>1$ funktioniert bis auf die Lipschitz-stetige Approximation von $f$ v"ollig analog) \item \ref{the:kneser} wird auch oft formuliert als ``$M$ ist kompakt und zusammenh"angend.'' \item In Ana II wurde f"ur endlichdimensionale NLRe bewiesen: (gilt auch f"ur $\infty$) $(V,\norm \cdot)$ NLR, $M\subseteq V$ kompakt $\equiv$ Jede Folge $(y_n)\subseteq M$ besitzt eine konvergente TF, deren Grenzwert in $M$ liegt. (``Folgenkompaktheit'') \item Die L"osungsmenge des AWPs ist folgenkompakt. Aus \ref{the:ascoli} folgt allgemein: $M\subseteq\SetCont([0,1],\SetR^p)$ folgenkompakt, wenn $M$ gleichgradig stetig, abgeschlossen und beschr"ankt ist. \item Im Beweis von \ref{the:kneser} wird u.a. benutzt: $M\subseteq V$ folgenkompakt, $S\subseteq M$, $S$ abgeschlossen $\implies$ $S$ folgenkompakt. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Grenzmenge:{ Sei $y\in\SetCont([x_0,\infty),\SetR^p)$. Die Menge \[\omega_+(y):=\{z\in\SetR^p\mid \exists (x_n)\subseteq[x_0,\infty)\text{ mit } x_n\to\infty,y(x_n)\to z (n\to\infty)\} \] hei"st Grenzmenge der Funktion $y$. Analog definiert man $\omega_-(y)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Eigenschaften der Grenzmenge:{ Ist $y$ beschr"ankt, so ist $\omega_+(y)$ beschr"ankt, abgeschlossen (daher kompakt), nichtleer und zusammenh"angend. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Grenzmengen und AWPe:{ Ist $f:\SetR^p\to\SetR^p$ lokal Lipschitz-stetig und das AWP $y'(x)=f(y(x)),y(x_0)=y_0$ l"osbar, so kann man die Grenzmenge der L"osung betrachten und schreibt dann kurz $\omega_+(y_0)$, da sie aufgrund der Autonomie des AWPs nicht von $x_0$ abh"angt. Desweiteren gilt hier: Ist $y$ beschr"ankt, so ist $\omega_+(y_0)$ kompakt, zusammenh"angend und invariant, d.h. f"ur $z_0\in\omega_+(y_0)$ und $z:[x_0,\omega_+)\to\SetR^p$ die nach rechts nicht fortsetzbare L"osung von $z'(x)=f(z(x)),z(x_0)=z_0$, so gilt $\omega_+=\infty$ und $z(x)\in\omega_+(y_0)$ f"ur alle $x\geq x_0$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \framedmsg{ Das war's f"ur Analysis I-III. Tsch"us! :-) } ana3-source/ana3_tricks.tex0000644000175000017500000000014010377450216015735 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- ana3-source/ana3_uebung.tex0000644000175000017500000001426610377450216015741 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- \para{Erl"auterungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Kreuzprodukt:{ Seien $x,y\in\SetR^3$ mit $x=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ und $y=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$. Dann ist das Vektor-Kreuzprodukt $x\times y$ folgenderma"sen definiert: \[x\times y:=e_x\cdot(\xi_2\eta_3-\xi_3\eta_2)+ e_y\cdot(\xi_1\eta_3-\xi_3\eta_1)+ e_z\cdot(\xi_1\eta_2-\xi_2\eta_1)\] Als Eselsbr"ucke kann man sich folgendes merken: \[x\times y=\begin{vmatrix} e_x & \xi_1 & \eta_1 \\ e_y & \xi_2 & \eta_2 \\ e_z & \xi_3 & \eta_3 \\ \end{vmatrix} \] wobei die ``Determinante'' formal durch Entwickeln nach der ersten Spalte berechnet wird. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Schreibweise f"ur das Wegintegral:{ Sei $\Gamma\subseteq\SetR^p$ eine Menge, die durch einen Weg $\gamma$ parametrisiert werden kann, und $f\in\SetCont(\Gamma,\SetR^p)$. Dann definiert man \[\int_\Gamma f_1(x)dx_1+\cdots+f_p(x)dx_p:=\int_\gamma f(x) dx \] Die analoge Definition gilt f"ur Wegintegrale nach der Wegl"ange. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Nabla-Operator:{ Der Nabla-Operator $\nabla$ wird im $\SetR^p$ formal definiert als der Vektor \[\nabla:=\begin{pmatrix} \frac \partial {\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac \partial {\partial x_p} \end{pmatrix} \] Sei $\Phi\in\SetCont^1(\SetR^p,\SetR)$, $f\in\SetCont^1(\SetR^p,\SetR^p)$, $g\in\SetCont^1(\SetR^3,\SetR^3)$. Dann ergeben sich formal: \begin{align*} \grad\Phi &= \nabla\cdot\Phi \\ \div f &= \nabla\cdot f \\ \rot f &= \nabla\times g \end{align*} } % ----------------------------------------------------------------------------- \para{Das Beste aus "Ubungen und Bl"attern} % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Exakte Differentialgleichungen} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Exakte Differentialgleichung:{ \index{Differentialgleichung>exakte} Sei $D\subseteq\SetR^2$. Eine Differentialgleichung der Form \[g(x,y)dx+h(x,y)dy=0 \] hei"st exakt $:\equiv$ $(g,h)$ ist ein Gradientenfeld, d.h. es existiert eine Funktion $G\in\SetCont^1(D,\SetR)$ mit $G_x=g$, $G_y=h$. Diese Funktion hei"st dann \indexthis{Stammfunktion}. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Vollst"andiges Differential:{ \index{Differential>vollst"andiges} Das vollst"andige Differential einer Funktion $G\in\SetCont^1(D,\SetR)$ ($D\subseteq\SetR^2$) wird definiert als \[dG:=G_xdx+G_ydy \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR^2$ einfach zusammenh"angend (?), $g,h\in\SetCont^1(D,\SetR)$ mit $g_y=h_x$=>{ Dann ist durch \[G(x,y):=\int_\gamma g(\xi,\eta)d\xi+h(\xi,\eta) d\eta \] eine Stammfunktion gegeben. Dabei ist $\gamma$ ein beliebieger Verbindungsweg in $D$ zwischen $x,y$ und $(x_0,y_0)$ bel. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Integrierender Faktor:{ \index{Faktor>integrierender} Die Dgl $g(x,y)dx+h(x,y)dy=0$ ist im Allgemeinen nicht exakt. Ein stetiger Faktor $\mu(x,y)$ hei"st integrierend $:\equiv$ $\mu(x,y)g(x,y)dx+\mu(x,y)h(x,y)dy=0$ ist exakt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Spezialfall:{ H"angt $\frac{g_y-h_x}{h}$ nur von $x$ ab, so ist \[\mu(x)=e^{\int (g_y-h_x)/h\,dx} \] ein integrierender Faktor. Ebenso: H"angt $\frac{g_y-h_x}{g}$ nur von $y$ ab, so ist \[\mu(y)=e^{\int (g_y-h_x)/g\,dy} \] ein integrierender Faktor. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Tips und Tricks} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $f\in\SetCont([a,b]\times\SetR,\SetR)$ f"ur jedes feste $x\in[a,b]$ monoton fallend in der zweiten Variablen=>{ Dann besitzt das AWP $y'(f(x,y),y(a)=y_0$ h"ochstens eine L"osung. } % ----------------------------------------------------------------------------- \trick Verfahren f"ur lineare Dgl'en:{ Ein Verfahren zur L"osung von linearen Differentialgleichungen, das nicht auf einer L"osungsformel beruht, ist folgendes: \begin{itemize} \item L"ose homogenes Problem \item Vorkommende Konstante als $c(x)$ auffassen \item Umstellen, $y'$ bestimmen, nach $c'$ aufl"osen, integrieren, abschliessend Integrationskonstante bestimmen. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $D\subseteq\SetR^2$ offen, $f\in\SetCont^1(D,\SetR)$=>{ Dann ist $f$ lokal Lipschitz-stetig auf $D$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \trick Erkennung von gleichgradiger Stetigkeit:{ Mit Hilfe des Satzes von Ascoli-Arcel\`a (\ref{the:ascoli}) l"asst sich unter Umst"anden die Annahme, eine Menge sei gleichgradig stetig, zum Widerspruch f"uhren: Findet man eine Folge, die nicht gleichm"a"sig konvergiert (also z.B. eine Folge stetiger Funktionen gegen eine unstetige), und sind alle anderen Voraussetzungen von \ref{the:ascoli} erf"ullt, so ergibt sich direkt, dass die Menge nicht gleichgradig stetig gewesen sein kann. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $T>0$, $g\in\SetCont([0,T],\SetR)$, $g(x)\ge 0 (x\in[0,T])$, $\limes x->{0+} \frac {g(x)}x=0$=>{ Dann folgt aus \[g(x)\le \int_0^x \frac{g(s)}sds \qquad (x\in[0,T]) \] $g(x)=0$ auf $[0,T]$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Nagumo: $f\in\SetCont(\SetR^2,\SetR)$=>{ \index{Nagumo>Satz von} Dann folgt aus \[|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le \frac{|y_1-y_2|}{x-x_0} \] f"ur $x>x_0$ und $y_1,y_2\in\SetR$ beliebig, dass das AWP $y'(x)=f(x,y(x)),y(x_0)=y_0$ nach rechts eindeutig l"osbar ist. }ana3-source/aufschrieb.tex0000644000175000017500000004517510377450216015670 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- % Various definitions for ``aufschrieb'' package % ----------------------------------------------------------------------------- % (c) iXiONmedia 98/99 ak % ----------------------------------------------------------------------------- \documentclass[titlepage,a4paper,twoside,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \makeindex \def\aufschriebblurb{ Ge\TeX t von Andreas Kl{\"o}ckner (ak@ixion.net). F{\"u}r Kommentare und Berichtigungen bin ich jederzeit dankbar. Neue Versionen gibt es unter \mbox{http://www.ixion.net/ak/aufschrieb}. \vskip0.4cm Copyright (c) 2000 Andreas Kl\"ockner. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, with the Front-Cover Texts being the first two paragraphs of this title page, and with no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled ``GNU Free Documentation License''. } \def\aufschriebbody#1#2{ \pagestyle{fancy} \lhead[\thepage]{\leftmark} \rhead[]{\thepage} \def\headrulewidth{0.4pt} \cfoot{} \tableofcontents \newpage #1 \appendix #2 \section{GNU Free Documentation License} {\tiny Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other written document ``free'' in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others. This License is a kind of ``copyleft'', which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software. We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as ``you''. A ``Modified Version'' of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language. A ``Secondary Section'' is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The ``Invariant Sections'' are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. The ``Cover Texts'' are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A ``Transparent'' copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. A copy that is not ``Transparent'' is called ``Opaque''. Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML produced by some word processors for output purposes only. The ``Title Page'' means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, ``Title Page'' means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. 3. COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies of the Document numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. D. Preserve all the copyright notices of the Document. E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. H. Include an unaltered copy of this License. I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. } \printindex } ana3-source/blatt.tex0000644000175000017500000000215110377450216014646 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,a4paper,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \hoffset -1in \voffset -1in \textwidth 470pt \textheight 700pt \headwidth 470pt \include{math} \newenvironment{blatt}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{\"Ubungsblatt #2 im Fach #1 $\cdot$ Andreas Kl\"ockner $\cdot$ 992330 } \begin{minipage}{8cm} {\Large\bfseries #1 } \"Ubungsblatt #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl\"ockner \\ Matr: 992330 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } \newcounter{aufgabe} \newenvironment{aufgabe}{ {\bfseries Aufgabe \arabic{aufgabe}.}\par \addtocounter{aufgabe}{1} }{\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{teilnr} \newenvironment{teile}{ \begin{list}{\alph{teilnr})}{\usecounter{teilnr}} }{ \end{list} } \def\dieskipich{\addtocounter{aufgabe}{1}}ana3-source/homework.tex0000644000175000017500000000225510377450216015400 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,fleqn]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{epsfig} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \textwidth 470pt \headwidth 470pt \textheight 9in \hoffset -0.8in \voffset-0.3in \include{math} \newenvironment{homework}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{Homework #2 for #1 $\cdot$ Andreas Kl{\"o}ckner $\cdot$ 999044514 } \begin{minipage}{10cm} {\Large\bfseries #1 } Homework #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl{\"o}ckner \\ SID: 999044514 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } \newenvironment{exercise*}[1] {{\bfseries Exercise #1.}\par} {\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{exercise} \newenvironment{exercise} {\begin{exercise*}{\arabic{exercise}} \addtocounter{exercise}{1}} {\end{exercise*}} \newcounter{partno} \newenvironment{parts}{ \begin{list}{\alph{partno})}{\usecounter{partno}} }{ \end{list} } \def\skipthisone{\addtocounter{exercise}{1}}ana3-source/macros.tex0000644000175000017500000002033410377450216015027 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- % Various helpful definitions % ----------------------------------------------------------------------------- % (c) iXiONmedia 98/99 ak % ----------------------------------------------------------------------------- \usepackage{ifthen} \usepackage{color} \nonstopmode \parindent=0pt \raggedbottom \parskip=\medskipamount \makeatletter % Register definitions -------------------------------------------------------- \newcounter{nochap} \newcounter{notheorem} \newcounter{nodefinition} \newcounter{stmtid} \newboolean{annotate} \newboolean{prove} \setboolean{annotate}{true} \setboolean{prove}{true} % Abbreviations --------------------------------------------------------------- \let\phi=\varphi \let\epsilon=\varepsilon \let\rho=\varrho \let\theta=\vartheta \def\stack(#1;#2){\genfrac{.}{.}{0pt}{}{\scriptstyle #1}{\scriptstyle #2}} \def\tstack(#1;#2){$\stack(\text{#1};\text{#2})$} \def\arcsinh{\operatorname{arcsinh}} \def\arccosh{\operatorname{arccosh}} \def\arccot{\operatorname{arccot}} \def\id{\operatorname{id}} \def\det{\operatorname{det}} \def\grad{\operatorname{grad}} \def\rot{\operatorname{rot}} \def\exp{\operatorname{exp}} \def\rank{\operatorname{rank}} \def\Spur{\operatorname{Spur}} \def\Kern{\operatorname{Ker}} \def\Bild{\operatorname{Bild}} \def\sinc{\operatorname{sinc}} \def\DFT{\operatorname{DFT}} \def\ord{\operatorname{ord}} \def\ggT{\operatorname{ggT}} \def\kgV{\operatorname{kgV}} \def\degree#1{\operatorname{deg} #1} \def\FT{\mathcal{F}} \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} % Import from T. Dussa: Info 3 Skript ----------------------------------------- \def\GL{\operatorname{GL}} \def\Aut{\operatorname{Aut}} \def\bij{\operatorname{bij.}} \def\rg{\operatorname{rg}} \def\diag{\operatorname{diag}} \def\kopf{\operatorname{kopf}} \def\first{\operatorname{first}} \def\follow{\operatorname{follow}} \def\Anf{\operatorname{Anf}} \def\SLL{\operatorname{SLL}} \def\LL{\operatorname{LL}} \def\SLR{\operatorname{SLR}} \def\LR{\operatorname{LR}} \def\LK{\operatorname{LK}} \def\korrekt{\operatorname{korrekt}} \def\kompakt{\operatorname{kompakt}} \def\halt{\operatorname{halt}} \def\total{\operatorname{total}} \def\Quad{\operatorname{quad}} \def\anw{\operatorname{anw}} \def\naechste{\operatorname{naechste}} \def\Dom{\operatorname{Dom}} \def\injto{\hookrightarrow} \def\surto{\twoheadrightarrow} \def\bijto{\overset{\sim}{\longrightarrow}} \def\ot{\gets} \def\NP{\textit{NP}} \def\SAT{\textit{SAT}} % End of import from T. Dussa: Info 3 Skript ---------------------------------- \def\SetN{\mathbb N} \def\SetZ{\mathbb Z} \def\SetQ{\mathbb Q} \def\SetR{\mathbb R} \def\SetC{\mathbb C} \def\limes#1->#2{\lim\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limesinf#1->#2{\liminf\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limessup#1->#2{\limsup\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limn{\limes n->\infty} \def\liminfn{\limesinf n->\infty} \def\limsupn{\limessup n->\infty} \def\sumn#1{\sum_{n=#1}^\infty} \def\limx#1{\limes x->{#1}} \def\fsum{{\sum\nolimits'}} \def\norm#1{{\left\| #1\right\|}} \def\fnorm#1{{\left|\left|\left|#1\right|\right|\right|}} \def\product#1{{\left\langle#1\right\rangle}} \def\iprod#1#2{{\left\langle #1,#2 \right\rangle}} \def\rim#1{\partial{#1}} \def\inner#1{{#1}^\circ} \def\closure#1{\overline{#1}} \def\qed{\hfill$\Box$} \long\def\ifnotempty#1#2{{% \setbox9=\hbox{#1}% \ifdim\wd9>1pt #2\fi% }} \def\insertpic#1{ \begin{center}\input #1.epic \end{center} } \def\insertfig#1{ \begin{center}\input #1.pstex_t \end{center} } \def\indexthis#1{\index{#1}#1} \def\lint{\mathchoice {\rlap{\hskip0.2em$\underline{\phantom{A}}$}} {\rlap{\hskip0.1em$\underline{\phantom{\scriptstyle A}}$}} {OH-SORRY.} {OH-SORRY.} \int } \def\uint{\mathchoice {\rlap{\hskip0.5em$\overline{\phantom{A}}$}} {\rlap{\hskip0.2em$\overline{\phantom{\scriptstyle A}}$}} {OH-SORRY.} {OH-SORRY.} \int } % sections and numbering ------------------------------------------------------ \def\resetcounters{ \setcounter{notheorem}{0} \setcounter{nodefinition}{0} } \def\para#1{ \section{#1} \resetcounters } \def\thepara{\thesection} % special frames -------------------------------------------------------------- \long\def\mathtitle#1#2{ \pagestyle{fancy} \def\headrulewidth{0pt} \cfoot{} { \vskip5cm \hrule height 1pt width 17 cm \vskip0.5mm \hrule height 0.25pt width 17 cm \vskip.25cm {\Huge \bfseries\hfill #1}\\ \hrule height 0.25pt width 17 cm \vskip0.5mm \hrule height 1pt width 17 cm \vskip 2cm \hfill\begin{minipage}{8cm} #2 \end{minipage} } \newpage } \def\framedmsg#1{ \hrule height 0.25pt \hfil #1\hfil\break \hrule height 0.25pt } % mathpar ---------------------------------------------------------------- % #1 Heading % #2 Caption % #3 Text \definecolor{mathgray}{gray}{0.8} \definecolor{mathbgray}{gray}{0.9} \newlength{\ix@temp@boxwidth} \newlength{\ix@temp@boxwidtha} \hbadness 11000 \long\def\mathpar#1#2#3{ \settowidth{\ix@temp@boxwidth}{\strut\sffamily #1}% \setlength{\ix@temp@boxwidtha}{\textwidth}% \addtolength{\ix@temp@boxwidtha}{-\ix@temp@boxwidth}% \addtolength{\ix@temp@boxwidtha}{-12pt}% \colorbox{mathgray}{\strut\sffamily #1}% \colorbox{mathbgray}{\strut\makebox[\ix@temp@boxwidtha][l]{\sffamily #2}}% {\protected@edef\@currentlabel{#1} \nobreak\par\nobreak #3\par\vspace{5pt} } } % convention ------------------------------------------------------------------ % #1 Text \long\def\convention#1{ \mathpar{Konvention f{\"u}r Kapitel \thepara}{}{#1} } % simple mathpars ------------------------------------------------------------- % #1 Name % #2 Text \long\def\trick#1:#2{ \mathpar{Trick}{#1}{#2} } \long\def\remark#1:#2{ \mathpar{Bemerkung}{#1}{#2} } \long\def\deduction#1:#2{ \mathpar{Herleitung}{#1}{#2} } \long\def\example#1:#2{ \mathpar{Beispiel}{#1}{#2} } \long\def\problem#1:#2{ \mathpar{Problem}{#1}{#2} } \long\def\auxiliary#1:#2{ \mathpar{Hilfsmittel}{#1}{#2} } \long\def\motivation#1:#2{ \mathpar{Motivation}{#1}{#2} } \long\def\proof#1:#2{ \ifprove \mathpar{Beweis zu #1}{}{#2} \fi } \long\def\annotation#1:#2{ \ifannotate \mathpar{Anmerkung zu #1}{}{#2} \fi } % algorithm ------------------------------------------------------------------- % #1 Name % #2 Text \long\def\algorithm#1:#2{ \ifnotempty{#1}{ \index{#1} } \mathpar{Algorithmus}{#1}{#2} } % definition ------------------------------------------------------------------ % #1 Name % #2 Text \long\def\definition#1:#2{ \addtocounter{nodefinition}{1} 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\newenvironment{stmts}{ \begin{list}{(\thestmtid)}{\usecounter{stmtid}} }{ \end{list} } \newenvironment{displaytext}{ \begin{quote} }{ \end{quote} } ana3-source/uebungsblatt.tex0000644000175000017500000000215710377450216016245 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,a4paper,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \hoffset -1in \voffset -1in \textwidth 470pt \textheight 700pt \headwidth 470pt \include{macros} \newenvironment{blatt}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{\"Ubungsblatt #2 im Fach #1 $\cdot$ Andreas Kl\"ockner $\cdot$ 992330 } \begin{minipage}{8cm} {\Large\bfseries #1 } \"Ubungsblatt Nr. #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl\"ockner \\ Matr: 992330 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } \newcounter{aufgabe} \newenvironment{aufgabe}{ {\bfseries Aufgabe \arabic{aufgabe}.}\par \addtocounter{aufgabe}{1} }{\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{teilnr} \newenvironment{teile}{ \begin{list}{\alph{teilnr})}{\usecounter{teilnr}} }{ \end{list} } \def\dieskipich{\addtocounter{aufgabe}{1}}ana3-source/german.sty0000644000175000017500000000032510377450216015031 0ustar andreasandreasquote '!' level '>' headings_flag 1 preamble "\\begin{theindex}\n\\footnotesize" heading_prefix "{\\large\\bfseries " heading_suffix "}\\par\\nobreak\\medskip\\nobreak" symhead_positive "S\"atze und Definitionen" ana3-source/README0000644000175000017500000000345310377450216013704 0ustar andreasandreas(C) 2000 Andreas Kloeckner (ak@ixion.net) http://www.ixion.net/ak/aufschrieb ------------------------------------------------------------------------------- Einkaufszettel ------------------------------------------------------------------------------- Die folgenden Programme sind erforderlich: * LaTeX2e (mit AMSLaTeX, Babel und FancyHeaders) * makeindex>=2.13 * dvips ------------------------------------------------------------------------------- Installation auf Unix ------------------------------------------------------------------------------- Alles in ein Verzeichnis untar'en, Make-Kommando eintippen, warten, fertig. Das Makefile ist darauf eingerichtet, alle Teile (I/II/III...) in einem Verzeichnis zu halten und gleichzeitig zu bauen. Es unterstuetzt die folgenden Targets: (Ersetze durch "info", "ana" etc.) make clean Distributionsverzeichnis von abhaengigen Dateien saeubern make mrproper _WIRKLICH_ sauber machen (loescht auch Editor-Backups) make setup Distributionsverzeichnis vorbereiten (erforderlich nach Neuinstallation, clean oder mrproper) make (all|1.dvi|2.dvi|...) als DVI bauen make (allps|.ps|.dvi|...) als Postscript bauen make distribution Tarballs zur Ueberspielung auf den Server erzeugen ------------------------------------------------------------------------------- Installation auf DOS/Windows ------------------------------------------------------------------------------- C:\> latex 1/2/... C:\> makeidx 1/2/... -g -s german.sty C:\> latex 1/2/... C:\> 1/2/... ------------------------------------------------------------------------------- Lizenz ------------------------------------------------------------------------------- GNU Free Documentation License. Siehe COPYING. ana3-source/COPYING0000644000175000017500000004327510377450216014065 0ustar andreasandreas GNU Free Documentation License Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other written document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others. This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software. We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language. A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque". Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML produced by some word processors for output purposes only. The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. 3. COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies of the Document numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. D. Preserve all the copyright notices of the Document. E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. H. Include an unaltered copy of this License. I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. ADDENDUM: How to use this License for your documents To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page: Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License". If you have no Invariant Sections, write "with no Invariant Sections" instead of saying which ones are invariant. If you have no Front-Cover Texts, write "no Front-Cover Texts" instead of "Front-Cover Texts being LIST"; likewise for Back-Cover Texts. If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software. ana3-source/Makefile0000644000175000017500000000100410377450216014452 0ustar andreasandreas.PHONY: setup distribution all clean mrproper psall all: ana1.pdf ana2.pdf ana3.pdf source: ana1-source.tar.gz ana2-source.tar.gz ana3-source.tar.gz distribution: ana1.dist.tar ana2.dist.tar ana3.dist.tar setup: if [ -f ana1.tex ]; then latex ana1; fi if [ -f ana2.tex ]; then latex ana2; fi if [ -f ana3.tex ]; then latex ana3; fi ana1.dvi: ana1.tex ana1_*.tex ana1.ind latex ana1 ana2.dvi: ana2.tex ana2_*.tex ana2.ind latex ana2 ana3.dvi: ana3.tex ana3_*.tex ana3.ind latex ana3 include make.rules ana3-source/make.rules0000644000175000017500000000315010377450216015007 0ustar andreasandreasifndef dist_add dist_add= endif ifndef FIG_MAGNIFICATION FIG_MAGNIFICATION=0.75 endif ifndef FIGURES FIGURES = $(wildcard *.fig) endif COMPILED_FIGURES=$(FIGURES:.fig=.pstex) $(FIGURES:.fig=.pstex_t) clean: find -name '*.dvi' -exec rm '{}' \; find -name '*.ps' -exec rm '{}' \; find -name '*.gz' -exec rm '{}' \; find -name '*.ilg' -exec rm '{}' \; find -name '*.ind' -exec rm '{}' \; find -name '*.toc' -exec rm '{}' \; find -name '*.aux' -exec rm '{}' \; find -name '*.idx' -exec rm '{}' \; find -name '*.log' -exec rm '{}' \; find -name '*.gz' -exec rm '{}' \; find -name '*.tar' -exec rm '{}' \; find -name '*.pstex_t' -exec rm '{}' \; find -name '*.pstex' -exec rm '{}' \; mrproper: clean find -name '*.bck' -exec rm '{}' \; find -name '*.bak' -exec rm '{}' \; find -name '*~' -exec rm '{}' \; %.ind: %.idx makeindex $* -g -s ../german.sty %-source.tar.gz: $(COMPILED_FIGURES) rm -Rf $*-source mkdir $*-source cp $*.tex $*_*.tex ../*.tex ../german.sty $(dist_add) $*-source/ cp ../README ../COPYING Makefile make.rules $*-source/ if cat $*_*.epic > /dev/null ; then \ cp $*_*.epic $*-source/; \ fi if cat $*_*.pstex > /dev/null ; then \ cp $*_*.pstex $*-source/; \ cp $*_*.pstex_t $*-source/; \ fi if cat $*_*.fig > /dev/null ; then \ cp $*_*.fig $*-source/; \ fi tar cvhfz $*-source.tar.gz $*-source rm -Rf $*-source %.pstex %.pstex_t: %.fig fig2dev -L pstex -m $(FIG_MAGNIFICATION) $*.fig > $*.pstex fig2dev -L pstex_t -p $*.pstex -m $(FIG_MAGNIFICATION) $*.fig > $*.pstex_t %.ps: %.dvi dvips -z $*.dvi -o $*.ps %.pdf: %.ps ps2pdf $*.ps $*.pdf %.bib: %.bbl bibtex $*