info2-source/0000755000175000017500000000000010377450234013212 5ustar andreasandreasinfo2-source/info2.tex0000644000175000017500000000152510377450234014754 0ustar andreasandreas% ----------------------------------------------------------------------------- % Informatik 2 Aufschrieb % ----------------------------------------------------------------------------- % Andreas Kloeckner / SS99 % ----------------------------------------------------------------------------- \input aufschrieb \input math \usepackage{epic} \def\cpx{\textit{Aufwand}: } \def\given{\textit{Gegeben}: } \def\aim{\textit{Gesucht}: } \newenvironment{proc}{\textit{Ablauf}:\begin{itemize}}{\end{itemize}} \begin{document} \mathtitle{Informatik II}{ Ein Aufschrieb der Vorlesung {\sl Informatik II} an der Uni Karlsruhe im Sommersemester 1999, gelesen von Prof.~Dr.~A. Waibel. \vskip0.4cm \aufschriebblurb \vskip0.4cm \LaTeX-Lauf am \today. } \aufschriebbody{ \input info2_1 \input info2_2 \input info2_3 }{ } \end{document} info2-source/info2_1.tex0000644000175000017500000012340610377450234015177 0ustar andreasandreas% ----------------------------------------------------------------------- \para{Algorithmen f"ur Graphen} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Graph:{ Ein {\itshape Graph} $G=(V,E)$ besteht aus einer Menge $V$ von \indexthis{Knoten} (\indexthis{vertices}) und einer Menge $E$ von \indexthis{Kanten} (\indexthis{edges}). Es gibt {\itshape gerichtete} und {\itshape ungerichtete} Graphen. Bei ersteren besteht die Menge $V$ aus geordneten, bei letzterem aus ungeordneten Paaren von Knoten. \index{Graph>gerichteter}\index{Graph>ungerichteter} Ein Graph hei"st \textit{gewichtet}, falls seine Kanten mit skalaren Gewichten versehen sind. \index{Graph>gewichteter} Der {\itshape \indexthis{Grad}} eines Knotens $v\in V$ ist die Anzahl an Kanten, die an $v$ enden. (analog: \indexthis{Eingangsgrad}/ \indexthis{Ausgangsgrad}) \index{Knoten>Grad eines} Ein {\itshape \indexthis{Pfad}} ist eine Folge von Knoten $v_1,v_2,...,v_n$, f"ur die eine Folge von Kanten $(v_1,v_2),(v_2,v_3),...,(v_{n-1},v_n)$ existiert. Ein Pfad hei"st \textit{einfach} oder \textit{elementar}, falls kein Knoten in ihm zweimal vorkommt. \index{Weg} \index{Kantenzug} \index{Pfad>einfacher} Ein Graph hei"st \textit{zusammenh"angend}, wenn in seiner ungerichteten Form zwischen allen Knoten Pfade existieren.Ein Graph hei"st \textit{zweifach/$n$-fach zusammenh"angend} (biconnected/$n$-connected), wenn zwischen je zwei Knoten mindestens zwei/$n$ knotendisjunkte Pfade existieren. Ein Graph hei"st stark zusammenh"angend, wenn zwischen je zwei Knoten $v_1,v_2\in V$ Pfade von $v_1$ nach $v_2$ und umgekehrt existieren. Ein Graph hei"st \textit{vollst"andig}, wenn zwischen je zwei verschiedenen Knoten in $G$ eine Kante existiert. \index{Graph>zusammenh"angender} \index{Graph>stark zusammenh"angender} \index{Graph>vollst"andiger} Ein Knoten $v_2$ hei"st {\itshape erreichbar} von $v_1$ genau dann, wenn ein Pfad zwischen $v_1$ und $v_2$ existiert. \index{erreichbar} \index{Knoten>Erreichbarkeit von} Gilt f"ur einen Graphen $G=(V,E)$ und einen zweiten Graphen $G'=(V',E')$ $V'\subseteq V$ und $E'\subseteq E$, so hei"st $G'$ Unter- oder Teilgraph von $G$. \index{Teilgraph} \index{Subgraph} \index{Untergraph} Sei $U\subseteq V$ eine Menge von Knoten. Dann hei"st $H=(U,F)$ der {\itshape von $U$ induzierte Subgraph}, wenn $F$ alle zu $U$ geh"origen Kanten beinhaltet. \index{Subgraph>induzierter} \index{Untergraph>induzierter} Eine {\itshape unabh"angige Menge $S$ in $G$} ist eine Menge von Knoten, die paarweise nicht durch Kanten verbunden werden. \index{Menge>unabh"angige} Ein {\itshape \indexthis{Zyklus}} in $G$ ist ein Pfad $P$ mit dem gleichen Anfangs- und Endpunkt. Von einem {\itshape \indexthis{Kreis}} spricht man, falls der Zyklus elementar ist. Ein Kreis mit $|P|=1$ hei"st auch {\itshape \indexthis{Schlinge}}. (circuit: Zyklus, cycle: Kreis) Ein Graph hei"st \textit{\indexthis{Wald}}, falls er keine Kreise enth"alt. Ein zusammenh"angender Wald hei"st \textit{\indexthis{Baum}}. Ist ein Knoten in ihm besonders ausgezeichnet, so hei"st der Graph ein \textit{Baum mit Wurzel}. \index{Wurzel>Baum mit} Ein \textit{aufspannender Wald} eines Graphen ist ein Wald, der alle Knoten des Graphen enth"alt. Analog: aufspannender Baum (``spanning tree'') \index{Wald>aufspannender} \index{Baum>aufspannender} Ein ungerichteter Graph hei"st bipartit genau dann, wenn seine Knoten in zwei Mengen aufgeteilt werden k"onnen, so dass jeder Knoten nur mit Knoten aus der jeweils anderen Menge verbunden ist. \index{Graph>bipartiter} Ein Graph hei"st \textit{eulersch}, wenn er zusammenh"angend ist und seine Knoten von geradem Grad sind. \index{Graph>eulerscher} Ein Graph ist ein \textit{einfacher Graph}, falls keine zwei Knoten in ihm von mehr als einer Kante verbunden werden. Ein Graph, der diese Eigenschaft nicht hat, hei"st Multigraph. \index{Graph>einfacher} \index{Multigraph} Eine {\itshape \indexthis{Clique}} in $G$ ist ein vollst"andiger Untergraph. {\itshape Fl"ache}: Keine Definition gefunden. } % ----------------------------------------------------------------------- \problem Darstellung von Graphen im Rechner:{ \index{Graphen>Darstellung im Rechner} \begin{itemize} \item Graphisch: naja \item Mengen: Zwei Felder, eins mit Knoten (die wiederum mit zugeh"origen Informationen) und Kanten (von Knoten-Index $a$ nach Knotenindex $b$). \item Adjazenzliste: Jeder Knoten schleppt eine Liste von verbundenen Knoten mit sich. \item Adjazenzliste in einem Feld: Erste $n$ Felder repr"asentieren Knoten, tragen jeweils Beginn Ihrer Adjazenzliste in diesem Feld in sich. \item Adjazenzmatrix: Tabelle mit Knoten-Indizes entlang Zeile (``von'') und Spalte (``nach''), Gewichte (bzw. 1 f"ur verbunden, 0 f"ur nicht verbunden) werden bei der entsprechenden ``von''--``nach''-Zelle eingetragen. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Tiefensuche:{ (auch \indexthis{DFS}: \indexthis{Depth first search}) Gehe zu einem Knoten, markiere ihn, klappere rekursiv alle benachbarten Knoten ab, vermeide dabei bereits markierte Knoten. DFS kann gewisse Arbeiten ``vor'', ``nach'' und ``w"ahrend'' des Abstiegs vornehmen, z.B. \begin{itemize} \item Versieht man jeden Knoten in der Reihenfolge der Abarbeitung bei der DFS mit einer Nummer, so nennt man diese Nummer die \textit{DFS-Nummer}. \item Mittels DFS l"asst sich aus einem ungerichteten Graphen in einem Anlauf ein DFS-Baum erzeugen, der folgenden Eigenschaft hat: Entweder ist eine Kante Teil des Baumes, oder sie ist eine Querkante (``cross edge''), d.h. sie verbindet im DFS-Baum einen Knoten mit einem seiner Vorg"anger. \item Ebenso lassen sich mittels DFS aus gerichteten Graphen DFS-B"aume erzeugen. (daf"ur sind gegebenenfalls im Gegensatz zu ungerichteten Graphen mehrere Anl"aufe n"otig. Es kann ja schlie"slich mehrere ``H"ugel'' im Graphen geben, von denen man hinunter, aber nicht mehr hinauf kommt.) Hier gibt es f"ur eine Kante die folgenden M"oglichkeiten: \begin{itemize} \item im Baum enthalten \item \indexthis{Querkante} (cross edge) \item \indexthis{Vorw"artskante} (forward edge) \item \indexthis{R"uckw"artskante} (back edge) \end{itemize} Haupteigenschaft von gerichteten DFS-B"aumen ist, dass der DFS-Baum bez"uglich der DFS-Numerierung ein Heap ist. (Eltern-Knoten hat kleinere Zahl als Kind-Knoten) \end{itemize} Bei unzusammenh"angenden Graphen muss evtl. noch gepr"uft werden, ob alle Knoten besucht worden sind. \cpx zusammenh"angend, ungerichtet $O(|V|)$, unzusammenh"angend oder gerichtet $O(|V|+|E|)$. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Breitensuche:{ (auch \indexthis{BFS}: \indexthis{Breadth first search}) Beginne bei einem Knoten. Markiere ihn, markiere alle seine Kinder und setze Verweise auf sie in einen FIFO. Nimm den n"achsten so zu bearbeitenden Knoten aus dem FIFO. Versieht man jeden Knoten in der Reihenfolge der Abarbeitung bei der BFS mit einer Nummer, so nennt man diese Nummer die \textit{BFS-Nummer}. \cpx $O(|V|+|E|)$. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Topologisches Sortieren:{ \given endlicher Baum $G=(V,E)$ \aim ``Reihenfolge'' \begin{proc} \item entferne sukzessive alle Knoten mit Eingangsgrad $0$, merke die Reihenfolge \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Alle k"urzesten Pfade von einem Ausgangspunkt:{ \given Graph $G=(V,E)$, Gewicht $Wt(x,y)$ der Kante $(x,y)$, Startknoten $v$ \aim Gewichtesumme des jeweils k"urzesten Pfades von einem Ausgangspunkt zu jedem Knoten eines Graphen. \begin{proc} \item Ordne jedem Knoten die gegenw"artige Pfadl"ange $L(v)$ zu (anfangs $\infty$) \item $L(v):=0$ \item Markiere alle Knoten (inklusive $v$) als unbesucht \item Solange unbesuchte Knoten existieren: \begin{itemize} \item W"ahle unbesuchten Knoten $w$ mit dem geringsten $L(w)$ \item Markiere $w$ als besucht \item F"ur jeden Nachbarn $x$ von $w$: $L(x):=\min\{ L(w)+Wt(w,x),L(x) \}$ \end{itemize} \end{proc} \cpx $O((|V|+|E|)\log |V|)$ Um den k"urzesten Pfad jeweils herauszufinden, vermerke die Herkunft des Minimums am Knoten. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Algorithmus von Prim:{ \index{Prim>Algorithmus von}\index{Spannbaum>minimaler} \index{Minimaler Spannbaum} (Minimaler Spannbaum, auch: minimum cost spanning tree (\indexthis{MCST})) \given Graph $G=(V,E)$, Gewicht $Wt(x,y)$ der Kante $(x,y)$ \aim Menge von Kanten, so dass diese einen Spannbaum bilden und ihre Gewichtesumme minimal ist. \begin{proc} \item Lege Knoteneigenschaften fest: $C(x),x\in V$ gibt die minimalen Kosten wieder, die gebraucht werden, um diesen Knoten vom Restbaum aus zu erreichen, $E_m(x),x\in V$ gibt an, "uber welche Kante diese minimalen Kosten erreicht werden, jeder Knoten erh"alt eine Besuchsmarkierung. \item $\forall x\in V: C(x):=\infty$, alle Knoten sind anfangs unbesucht \item Suche die Kante mit minimalen Gewicht. Sei diese $(m_1,m_2)$ \item Markiere $m_1$ als besucht \item $\forall (m_1,x)\in E: C(x):=Wt(m_1,x), E_m(x):=(m_1,x)$ \item Solange unbesuchte Knoten existieren: \begin{itemize} \item W"ahle Knoten $w$ mit dem geringsten $C(w)$ \item Markiere $w$ als besucht, f"uge $E_m(w)$ zu Spannbaum hinzu \item $\forall (w,x)\in E:$ Ist $C(x)>Wt(w,x)$, so setze $C(x):=Wt(w,x)$ und $E_m(x):=(w,x)$ \end{itemize} \end{proc} \cpx $O((|V|+|E|)\log |V|)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Algorithmus von Kruskal:{ \index{Kruskal>Algorithmus von} \given ungerichteter Graph $G=(V,E)$, Gewicht $Wt(x,y)$ der Kante $(x,y)$ \aim Menge von Kanten, so dass diese einen Spannbaum bilden und ihre Gewichtesumme minimal ist. \begin{proc} \item F"uge $|V|-1$ mal die k"urzeste noch nicht hinzugef"ugte Kante zum Spannbaum hinzu, die keinen Zyklus entstehen l"asst. \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Transitive H"ulle:{ \given Graph $G=(V,E)$ \aim Menge von Kanten, so dass zwischen je zwei voneinander erreichbaren Knoten eine Kante existiert. Zwei verschiedene M"oglichkeiten: \begin{itemize} \item $|V|-1$ mal f"ur jede Kante alle angrenzenden Kanten dazuf"ugen \item (Voraussetzung: Graph liegt in Form einer Adjazenzmatrix $A$ vor) Bestimme $H=\sum_{i=0}^{n-1} A^i$. Ist $H_{ij}\ne 0$, so existiert eine Abk"urzung von $i$ nach $j$. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Matching:{ Zwei Kanten $(u,v)$ und $(x,y)$ hei"sen \textit{unabh"angig}, wenn $u,v,x,y$ paarweise verschieden sind. Ansonsten hei"sen die beiden Kanten benachbart. \index{Kanten>Unabh"angigkeit von} \index{Kanten>Nachbarschaft von} Eine Kantenmenge hei"st \textit{Matching/unabh"angig} $:\equiv$ alle ihre Elemente sind paarweise unabh"angig. Ein Knoten hei"st \textit{frei} bez"uglich eines Matchings, wenn er von keiner Kante ber"uhrt wird. Andernfalls hei"st er gematcht. \index{Knoten>Freiheit eines} Ein Matching hei"st \textit{(fast) perfekt} $:\equiv$ alle (bis auf einen) Knoten des Graphen werden gematcht. \index{Matching>perfektes} Ein um keine Kante erweiterbares Matching hei"st \textit{maximal}. \index{Matching>maximales} Ein Matching hei"st maximum $:\equiv$ jedes andere Matching hat weniger oder gleich viele Kanten. \index{Matching>Maximum-} } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Menge $M\subseteq E$ ist genau dann ein Matching, wenn der Grad jedes Knotens bez"uglich $M$ 0 oder 1 ist. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Alternierender Pfad:{ Sei $G=(V,E)$ ein Graph, $M\subseteq E$ ein Matching, $v,w\in V$ zwei ungematchte Knoten. Dann ist ein alternierender Pfad $P\subset E$ von $v$ nach $w$ ein Pfad in $G$, so dass genau jede zweite Kante von $P$ in $M$ liegt. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Berge: $G=(V,E)$ ein Graph, $M\subseteq E$ ein Matching=> { Es gibt in $G$ keinen alternierenden Pfad bez"uglich $M$ $\equiv$ $M$ ist Maximum-Matching } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Bipartites Matching:{ \given bipartiter Graph $G=(V\cup U,E)$ \aim Ein Maximum-Matching $M\subset E$ \begin{proc} \item Markiere alle Kanten als unbesucht \item Solange es eine unbesuchte Kante $(u,v)$ gibt: \begin{itemize} \item Nimm Kante in $M$ auf \item Markiere $(u,v)$ und alle zu $(u,v)$ benachbarten Kanten \end{itemize} \item Betrachte $G$ nun als gerichtet: Ist eine Kante $e\in M$, so richte sie von $V$ nach $U$, ansonsten umgekehrt. \item Suche f"ur jeden ungematchten Knoten $v$ einen gerichteten Pfad (der jetzt genau einem alternierenden Pfad entspricht) zu einem ebenfalls ungematchten Knoten $u$. Existiert ein solcher alternierender Pfad $P$, vertausche entlang $P$ die Matchings-Zugeh"origkeit. Dann ist $M$ immer noch Matching, aber gr"o"ser als vorher. \end{proc} \cpx $O(|V|(|V|+|E|))$ } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von K"onig: $G=(V,E)$ Graph=> { $G$ bipartit $\equiv$ Es existieren keine ungeraden Zyklen in $G$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Aus dem Satz von K"onig folgt u.a., dass alle B"aume und alle Hyperw"urfel bipartit sind. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Netzwerk:{ Ein gerichteter Graph $G=(V,E,s,t)$ mit Gewichten (``Kapazit"aten'') $Cap((x,y)),(x,y)\in E$ und zwei Knoten $s$ (Quelle) und $t$ (Senke) hei"st ein \textit{Netzwerk}. Dabei muss die Quelle Eingangsgrad 0 und die Senke Ausgangsgrad 0 haben. \index{Quelle} \index{Senke} \index{Kapazit"at} Ein \textit{\indexthis{Fluss}} ist eine Funktion $f:E\to\SetR$, die den folgenden Forderungen gen"ugt: \begin{itemize} \item $0\le f(e) \le Cap(e)$ \item $\forall v\in V\setminus\{s,t\}: \sum_u f((u,v)) = \sum_u f((v,u))$ \end{itemize} Mit dem Wert eines Flusses bezeichnet man die Summe aller von $s$ ausgehenden/bei $t$ eintreffenden Str"ome. Der Fluss mit maximalem Wert hei"st maximaler Fluss. \index{Fluss>Wert eines} \index{Fluss>maximaler} } % ----------------------------------------------------------------------- \remark Aufstockbarkeit von Matching- zu Netzwerkproblemen:{ Gegeben sei ein bipartiter Graph $G=(V\cup U,E)$. Dann konstruiert man das zugeh"orige Netzwerkproblem durch hinzuf"ugen einer Quelle, einer Senke, Verbinden der Quelle mit allen Knoten aus $V$, bzw. aller Knoten aus $U$ mit der Senke und Zuweisen der Kapazit"at 1 an alle Kanten. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Augmentierender Pfad:{ Sei $G=(V,E,s,t)$ mit $Cap((x,y))$ ein Netzwerk. Dann ist ein \textit{augmentierender Pfad} ein Pfad von $s$ nach $t$ aus Kanten $(v,u)$, die je genau eine der folgenden zwei Bedingungen erf"ullen: \begin{itemize} \item $(v,u)\in E$, $f((v,u))0$ nennt sich ``Flaute'' (slack) der Kante. \item $(u,v)\in E$, $f((u,v))>0$ (``\indexthis{R"uckw"artskante}'') \end{itemize} \index{Pfad>augmentierender} } % ----------------------------------------------------------------------- \remark Wie man mit Hilfe eines augmentierenden Pfades den Fluss vergr"o"sert:{ Sei $P$ augmentierender Pfad in $G=(V,E,s,t)$. Sei $F\subseteq P$ die Menge der Vorw"artskanten, $B\subseteq P$ die Menge der R"uckw"artskanten. Dann nimm \[ m_F:=\min \{ Cap((v,u))-f((v,u)) \mid (v,u)\in F \} \] und \[ m_B:=\min \{ f((u,v)) \mid (u,v)\in B \} \] Dann kann der Fluss um $m:=\min\{m_F,m_B\}>0$ vergr"o"sert werden, indem man: \begin{itemize} \item Bei Vorw"artskanten $m$ zum Fluss dazuaddiert \item Bei R"uckw"artskanten $m$ vom Fluss abzieht \end{itemize} Die Anforderungen an Erhaltung und Kapazit"at werden erf"ullt, und der gesamte Fluss wird vergr"o"sert, weil nur Vorw"artskanten $s$ verlassen und nur Vorw"artskanten bei $t$ eintreffen (und bei beiden der Fluss vergr"ossert wurde). } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Schnitt:{ Sei $G=(V,E,s,t)$ mit $Cap((x,y))$ ein Netzwerk. Sei $A\subset E$ eine Teilmenge mit $(s,x)\in A,(x,t)\not\in A$ ($x\in V$). Dann ist der Schnitt von $A$ $:=$ $\{(u,v)\mid (u,v)\in E,u\in A, v\in E\setminus A\}$. Die Kapazit"at eines Schnittes ist die Summe der Kapazit"aten der Kanten im Schnitt. \index{Schnitt>Kapazit"at eines} } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Satz vom augmentierenden Pfad: $G=(V,E,s,t)$ mit $Cap((x,y))$ Netzwerk, $f$ ein Fluss darin=> { $f$ maximal $\equiv$ Es existiert kein augmentierender Pfad bezgl. $f$ in $G$. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Max-Flow-Min-Cut: $G=(V,E,s,t)$ mit $Cap((x,y))$ Netzwerk=> { Der Wert des maximalen Flusses in $G$ entspricht der geringsten Kapazit"at eines Schnittes in $G$. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Satz vom ganzzahligen Fluss: $G=(V,E,s,t)$ mit $Cap((x,y))\in\SetN$ Netzwerk, $f_{max}$ maximaler Fluss in $G$=> { F"ur alle Kanten $e\in E$ gilt: $f_{max}(e)\in\SetN$. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Suche eines augmentierenden Pfades:{ \given $G=(V,E,s,t)$ mit $Cap((x,y))$ Netzwerk, $f$ ein Fluss darin \aim Ein augmentierender Pfad $P$. \begin{proc} \item Erstelle aus dem ``alten'' Netzwerk ein neues (``\indexthis{Residualnetzwerk}'') nach den folgenden Regeln: Betrachte jede Kante $e=(v,w)\in E$. \begin{itemize} \item Ist $f(v)=Cap(v)$, so "ubernimm $v$ in umgekehrter Richtung mit gleicher Kapazit"at. \item Ist $0\ne f(v)hamiltonscher} Zu finden ist ein/der k"urzeste Hamilton'sche(r) Pfad mit derzeit bekannten Algorithmen nicht in polynomialer Zeit. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Minimale Editierdistanz:{ \index{Editierdistanz>Minimale} \given Zwei Zeichenketten $a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_m$, $c_i,c_s,c_d$ Kosten der Editierschritte \textit{insert}, \textit{substitute}, \textit{delete}. \aim Editiersequenz mit minimaler Kostensumme, die $(a_i)$ in $(b_i)$ umformt \begin{proc} \item Erstelle Matrix $C(i,j)$, die die minimale Zahl an Editierschritten angibt, um $a_1,\ldots, a_i$ in $b_1,\ldots, b_j$ umzuformen. Betrachte hilfsweise $a_{n+1}=b_{m+1}=\emptyset$ \item Initialisiere $C(0\ldots n+1,0)=0\ldots (n+1)\cdot c_d$, $C(0,0\ldots m+1)=0\ldots (m+1)\cdot c_i$ \item Berechne nach folgender Vorschrift von links oben nach rechts unten jede Zelle $C(i,j)$ der Matrix als Minimum von: \begin{itemize} \item Wenn $a_i=b_j$: $C(i-1,j-1)$ \item Wenn $a_i\ne b_j$: $C(i-1,j-1)+c_s$ \item $C(i-1,j)+c_d$ \item $C(j,i-1)+c_i$ \end{itemize} \item Die minimale Editierdistanz findet sich in $C(n+1,m+1)$ \end{proc} Indem man sich in jedem Schritt merkt, welche Art Schritt das Minimum erbracht hat, kann man den minimalen Editierpfad rekonstruieren. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Markov-Modell:{ \input info2_markov.epic Eine Hypothese/ein Modell f"ur ein zu erkennendes Muster wird dargestellt in einem Graphen wie dem obigen. Jeder der $n$ Knoten im Graphen hei"st ein Zustand. In jedem Zustand gibt es "Ubergangswahrscheinlichkeiten $p_0(i)$ (Wiederholung/"Ubergang zum gleichen Knoten), $p_1(i)$ ("Ubergang zum n"achstfolgenden Knoten), $p_2(i)$ ("Ubergang zum "ubern"achsten Knoten). Man definiert: $p(i,j):=$ Wahrscheinlichkeit f"ur $i$ im Zustand $j$ \[ p(i,j)=\begin{cases} p_0(j) & i=j \\ p_1(j) & i=j+1 \\ p_2(j) & i=j+2 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \] Zus"atzlich gibt es eine Tabelle von ``Emissionswahrscheinlichkeiten'' \[ p_E(<\textit{Zeichen}>,<\textit{Zustand}>) \] zu jedem Zustand im Graphen, die angibt, welches Zeichen mit welcher Wahrscheinlichkeit statt dem im Graph (ohnehin nur symbolisch) vermerkten erkannt wird. Mit Hilfe eines solchen Modells kann unter Zuhilfenahme eines geeigneten Algorithmus die (maximale) Wahrscheinlichkeit des Zutreffens der Hypothese auf eine Beobachtung ermittelt werden. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Forward-Algorithmus:{ \given Markov-Modell $(p,p_E)$, Beobachtung $a_1,\ldots,a_m$. O.B.d.A sei Zustand $1$ der Startzustand, Zustand $n$ der Endzustand. \aim Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Zutreffens der von $(p,p_E)$ dargestellten Hypothese auf die Beobachtung. \begin{proc} \item Erstelle Matrix $\alpha(1\ldots n,0\ldots m)$, wobei $\alpha(i,j)$ die Wahrscheinlichkeit angibt, nach Beobachtung von $a_1,\ldots,a_j$ im Zustand $i$ zu sein. \item Initialisiere Matrix $\alpha(2\ldots n,0):=0$ und $\alpha(1,0):=1$ \item Berechne Matrix spaltenweise (durch die Beobachtung fortschreitend). Dabei ist f"ur festes $j=1\ldots m$ und $i=1\ldots n$ \[ \alpha(i,j)=\sum_{k=1}^{n} \alpha(k,j-1)\cdot p(i,k)\cdot p_E(a_j,i) \] \item Dann findet sich die Wahrscheinlichkeit, dass diese Hypothese auf die Beobachtung passt, in $\alpha(n,m)$ \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Viterbi-Algorithmus:{ \given Markov-Modell $(p,p_E)$, Beobachtung $a_1,\ldots,a_m$. O.B.d.A sei Zustand $1$ der Startzustand, Zustand $n$ der Endzustand. \aim Bestimmung der wahrscheinlichsten Zuordnung von Symbolen der Beobachtung zu den Zust"anden \begin{proc} \item Erstelle Matrix $\alpha(1\ldots n,0\ldots m)$, wobei $\alpha(i,j)$ die maximale Wahrscheinlichkeit eines Pfades zum Zustand $i$ nach Beobachtung von $a_1,\ldots,a_j$ angibt. \item Initialisiere Matrix $\alpha(2\ldots n,0):=0$ und $\alpha(1,0):=1$ \item Berechne Matrix spaltenweise (durch die Beobachtung fortschreitend). Dabei ist f"ur festes $j=1\ldots m$ und $i=1\ldots n$ \[ \alpha(i,j)=\max \{ \alpha(k,j-1)\cdot p(i,k)\cdot p_E(a_j,i) \mid k\in\{1,\ldots,n\}\} \] \item Den wahrscheinlichsten Pfad durch die Matrix findet man dann durch Zur"uckverfolgen der Maxima ausgehend von $\alpha(n,m)$ \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------- \para{Geometrische Algorithmen} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Punkt:{ Ein Punkt $p$ im $n$-dimensionalen Raum wird dargestellt durch ein $n$-Tupel: $p=(\ntuple x)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Gerade:{ Eine \textit{Gerade} wird durch zwei Punkte auf ihr festgelegt. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Strecke:{ Eine \textit{Strecke} wird durch zwei Punkte, ihre \textit{Endpunkte} festgelegt. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Streckenzug:{ Ein \textit{Streckenzug} ist eine Folge von Strecken (\textit{Kanten}), wobei der Endpunkt (\textit{Knoten}) einer Strecke der Anfangspunkt der n"achsten ist. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Polygon:{ \index{Streckenzug>geschlossener} Ein \textit{Polygon} ist ein Streckenzug, dessen erster und letzter Punkt identisch sind. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Inneres:{ Ein Polygon, dessen Kanten sich nicht schneiden, umrahmt eine Region, deren Punkte \textit{innen} sind. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Konvexit"at:{ Ein Polygon ist \textit{konvex}, wenn jede Strecke zwischen zwei Punkten in seinem Inneren komplett im Inneren liegt. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Punkt in Polygon:{ \given Punkt $p$, $P=\{u_1-u_2,\ldots u_n-u_1\}$ Polygon \aim Liegt $p$ in $P$? \begin{proc} \item Z"ahle Kanten, die sich mit einer Halbgerade von $p$ nach $\infty$ in beliebiger Richtung schneiden (Findet der Schnitt in einem Endpunkt einer Kante statt, h"angt das Verfahren vom weiteren Verlauf des Streckenzuges ab) \item Ist diese Zahl gerade, liegt $p$ au"sen, ist sie ungerade, innen. \end{proc} \cpx $O(n)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Konstruktion eines kreuzungsfreien Polygons:{ \given Punkte $p_1,\ldots,p_n$ im $2$-dimensionalen Raum \aim Kreuzungsfreies Polygon, das alle Punkte als Knoten enth"alt \begin{proc} \item W"ahle Punkt $p$, der garantiert sp"ater im Inneren des Polygons liegt \item Sortiere Punkte nach dem Winkel, den sie mit dem gew"ahlten Punkt und der $x$-Achsen-Parallele durch den gew"ahlten Punkt einschlie"sen \item Sortiere Punkte, die den gleichen Winkel einschlie"sen, nach Ihrem Abstand zu $p$ \item Verbinde Punkte in dieser Reihenfolge \end{proc} \cpx $O(n\log n)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Stretching algorithm:{ \given Punkte $p_1,\ldots,p_n$ im $2$-dimensionalen Raum \aim Konvexes Polygon, das alle Punkte enth"alt \begin{proc} \item Beginne mit einem Dreieck aus drei beliebigen Punkten \item Solange noch ein nicht bearbeiteter $p$ Punkt au"serhalb der bisher erzeugten H"ulle existiert \begin{itemize} \item Suche Punkt $o$ in bisheriger H"ulle, der mit $x$-Achsen-Parallele durch $p$ gr"o"stm"oglichen Winkel einschlie"st \item Suche Punkt $u$ in bisheriger H"ulle, der mit $x$-Achsen-Parallele durch $p$ gr"o"stm"oglichen Winkel einschlie"st \item Wirf alle Punkte zwischen $o$ und $u$ aus der H"ulle \item F"uge $p$ statt ihrer ein \end{itemize} \end{proc} \cpx $O(n^2)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Gift wrapping algorithm:{ \given Punkte $p_1,\ldots,p_n$ im $2$-dimensionalen Raum \aim Konvexes Polygon, das alle Punkte enth"alt \begin{proc} \item Erzeuge nacheinander Strecken nach dem Schema des Einpackens eines kantigen Geschenks (maximiere Innenwinkel) \end{proc} \cpx $O(n^2)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Graham's scan:{ \given Punkte $p_1,\ldots,p_n$ im $2$-dimensionalen Raum \aim Konvexes Polygon $q_1,\ldots q_m$, das alle Punkte enth"alt \begin{proc} \item Bestimme den "au"serst rechten Punkt $p$, falls mehrere "au"serst rechte existieren, nimm den untersten. \item Bestimme f"ur alle Punkte $q$ den Winkel von $pq$ mit der $x$-Achse. (es treten Winkel zwischen $\pi/2$ und $3\pi/2$ auf) \item Sortiere diese Liste, sei diese sortierte Liste nun $r_1,\ldots,r_n$ \item L"ange der bisher gebauten H"ulle $l:=2$, $q_i:=r_i$ ($i=1\ldots l$) \item Gehe die Liste der Reihe nach durch, f"ur jeden Punkt $r_i$ ($i=3\ldots n$) f"uhre folgende Schritte durch: \begin{itemize} \item Bestimme Innenwinkel $\alpha:=\angle r_i q_l q_{l-1}$ \item Ist $\alpha > \pi$, dekrementiere $l$ solange, bis $\angle r_i q_l q_{l-1}\le \pi$ \item Inkrementiere $l$, $q_l:=r_i$ \end{itemize} \end{proc} \cpx $O(n \log n)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Ballung:{ Das Zusammenfassen einer Mengen von Punkten $P=\{P_1,\ldots,P_n\}$ zu paarweise disjunkten Teilmengen (\textit{Klassen}) $Q_1,\ldots,Q_m\subseteq P$ nennt man \textit{Ballen}, das Ergebnis eine \textit{Ballung}. Man unterscheidet \textit{"uberwachtes} und \textit{un"uberwachtes} Ballen. Beim "uberwachten Ballen sind von vornherein Kriterien f"ur jede Klasse $Q_i$ bekannt, die die Zugeh"origkeit eines Elementes bestimmen. Beim un"uberwachten Ballen ist dies nicht der Fall. Au"serdem unterscheidet man zwischen \textit{agglomerativem} und \textit{divisivem} Vorgehen beim Ballen. Agglomeratives Ballen arbeitet in einer Weise, bei der jeweils mehrere existierende Klassen zu einer einzigen zusammengefasst werden, w"ahrend divisives Ballen mit nur einer Klasse beginnt und diese dann jeweils in mehrere Klassen zerteilt. Die (agglomerative) Klassifizierung kann (u.a.) durch die folgenden zwei Kriterien geschehen: \begin{itemize} \item nach dem n"achsten Nachbarn (Punkt wird der Klasse zugeordnet, in der sich auch sein n"achster Nachbar befindet). \item nach den $k$ n"achsten Nachbarn (Punkt wird der Klasse zugeordnet, in der sich die meisten der $k$ ihm n"achstliegenden Punkte befinden) \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm N"achstes Paar:{ \given Eine Menge $P=\{P_1,\ldots P_n\}$ von Punkten $P_i=\{x_i,y_i\}$ im 2-dimensionalen Raum \aim Bestimmen des kleinsten Abstands zweier Punkte \begin{proc} \item Besteht Raum aus zwei Punkten? Dann gib als Ergebnis den Abstand dieser Punkte voneinander aus und beende (Basisfall) \item Trenne Raum entlang einer $y$-Achsen-Parallele mit der Koordinate $x_h$ in zwei H"alften $Q_1$ und $Q_2$ mit $|Q_1| = |Q_2|\pm 1$ (z.B. anhand einer Sortierung nach $x$-Koordinaten) \item Rekursion "uber $Q_1$ und $Q_2$, Ergebnis: Sei $d_1$ geringster Abstand in $Q_1$, $d_2$ geringster Abstand in $Q_2$ \item Setze $d:=\min\{d_1,d_2\}$ \item Eliminiere alle Punkte $P_i$ in $Q_1$ und $Q_2$, f"ur die gilt $|x_h-x_i|\ge d$ \item Sortiere verbleibende Punkte nach $y$-Koordinate \item Pr"ufe f"ur jeden Punkt drei Punkte ``aufw"arts'' und drei Punkte abw"arts in der Liste auf geringere Abst"ande, falls dem so ist, setze $d$ neu \item Ergebnis: $d$ \end{proc} \cpx $O(n \log^2 n)$. Es existiert auch ein Algorithmus mit $O(n\log n)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Linienschnitt:{ \given Eine Menge $H=\{h_1,\ldots,h_m\}$ von horizontalen und eine Menge $V=\{v_1,\ldots, v_n\}$ von vertikalen Linien \aim Menge aller Schnitte $C\subseteq H\times V$ von horizontalen und vertikalen Linien \begin{proc} \item Erstelle nach $x$-Koordinaten sortierte Liste $Q$ aller Endpunkte der Linien in $V$ und $H$ \item Erstelle eine nach $y$-Koordinaten sortierte Liste $H'\subseteq H$ der gerade betrachteten horizontalen Linien \item F"ur jeden Punkt $P$ aus $Q$ \begin{itemize} \item Ist $P$ linker Punkt einer horizontalen Linie $h$? F"uge $h$ zu $H'$ hinzu. \item Ist $P$ rechter Punkt einer horizontalen Linie $h$? Entferne $h$ aus $H'$. \item Ist $x(P)$ Koordinate einer vertikalen Linie $v$? Pr"ufe auf Schnitt mit jeder Linie $h$ aus $H'$, falls gegeben, f"uge $(h,v)$ zu $C$ hinzu. \end{itemize} \end{proc} \cpx $O((m+n)\log(m+n)+R)$, wobei $R$ die Anzahl der Schnitte angibt } % ----------------------------------------------------------------------- \para{Probabilistische Algorithmen} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Monte-Carlo-Algorithmus:{ Einen \textit{Monte-Carlo-Algorithmus} nennt man einen Algorithmus, der mit einer gewissen (hohen) Wahrscheinlichkeit ein richtiges Ergebnis liefert. (Beispiel: Element in der oberen H"alfte) } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Las-Vegas-Algorithmus:{ Einen \textit{Las-Vegas-Algorithmus} nennt man einen Algorithmus, der zwar mit Sicherheit ein richtiges Ergebnis liefert, dessen Laufzeit aber unbestimmt ist. (Beispiel: Erstelle solange zuf"allige Dinge, bis ein gesuchtes dabei herauskommt) } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Pseudozufallszahlengenerator:{ \given $r_1\nnatural$ seed, $b,t\natural$ Konstanten \aim $(r_n)\subseteq\SetN_0$ Zufallszahlen \begin{proc} \item $r_n:=(r_{n-1}b+1) \bmod t$ \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------- \para{Algebraische Algorithmen} % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Verfahren des fortgesetztes Quadrierens:{ \given $n,k\in\SetN$ \aim $n^k$ \begin{proc} \item Ist $k=2$? Ergebnis: $n\cdot n$ \item Bestimme (rekursiv) $h:=n^{\lfloor k/2\rfloor}$ \item Ist $k$ gerade? Ergebnis: $h\cdot h$ \item Ist $k$ ungerade? Ergebnis: $h\cdot h\cdot n$ \end{proc} \cpx $O(\log k)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Euklidischer Algorithmus:{ \given $m,n\in\SetN$ \aim Gr"o"ster gemeinsamer Teiler von $m$ und $n$ \begin{proc} \item Setze $d:=m$, $v:=n$ \item Solange $v \ne 0$ \begin{itemize} \item Bestimme $r:=d \bmod v$ (Es gilt $d=kv+r$, $k\in\SetN$) \item Setze $d:=v$, $v:=r$ \end{itemize} \end{proc} \cpx $O(\log(n+m))$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Polynommultiplikation:{ \given Zwei Polynome $p,q\in\SetR[x]$ mit $\grad p=\grad q=n$, $n\in\SetN$ \aim $p\cdot q$ \begin{proc} \item Zerteile $p$ in $p_1,p_2$, so dass $p=p_1\cdot x^{\lfloor n/2 \rfloor}+p_2$ \item Zerteile $q$ in $q_1,q_2$, so dass $p=q_1\cdot x^{\lfloor n/2 \rfloor}+q_2$ \item Basisfall: $\grad p,q=1$. Ergebnis: $p_1q_1x^2+(p_1q_2+p_2q_1)x+p_2q_2$ \item Bestimme rekursiv: $a:=p_1q_1$, $c:=p_2q_2$, $b:=(p_1+p_2)(q_1+q_2)-a-b$ \item Ergebnis: $ax^n+bx^{\lfloor n/2 \rfloor}+c$ \end{proc} \cpx $O(n^{1,59})$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Matrizenmultiplikation nach Winograd:{ \index{Winograd>Matrizenmultiplikation nach} \given $A,B\in\SetR^{n\times n}$, $A=((a_{ij})),B=((b_{ij}))$, $n=2m$, $m\natural$ \aim $C:=A\cdot B=((c_{ij}))$ \begin{proc} \item Berechne f"ur jede Zeile $A_i:=\sum_{k=1}^{n/2} a_{i,2k-1}a_{i,2k}$ \item Berechne f"ur jede Spalte $B_i:=\sum_{k=1}^{n/2} b_{2k-1,i}b_{2k,i}$ \item Berechne f"ur $i,j=1\ldots n$ \[ c_{ij}=\sum_{k=1}^{n/2} (a_{i,2k_-1}+b_{2k-1,i})\cdot (a_{i,2k}+b_{2k,i})-A_i-B_j \] \end{proc} \cpx $\frac{n^3}2+n^2$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Matrizenmultiplikation nach Strassen:{ \index{Strassen>Matrizenmultiplikation nach} ... (kann sich kein Schwein merken, kommt daher auch nicht in der Klausur dran) \cpx $O(n^{2,81})$ } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm RSA-Verschl"usselung:{ \textbf{Schl"usselerzeugung:} \aim $n,e,d\in\SetN$, wobei $e\cdot d = k\cdot\phi(n)+1$ $\phi(n)$ ist die Anzahl der zu $n$ teilerfremden Zahlen $kontinuierliches} Ein kontinuierliches Signal sei hier eine Funktion $f:\SetR\to\SetR$, dargestellt als $f(x):=y$, wobei $x,y\real$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Periodisches Signal:{ \index{Signal>periodisches} Gilt f"ur alle $x\real$ und ein $T\real^+$ \[ f(x)=f(x+T) \] so hei"st $f$ periodisch mit der \indexthis{Periode} $T$. (kurz: $T$-periodisch) Existiert ein kleinstes $T_0\real^+$, so dass $f$ $T_0$-periodisch ist, so nennt man $T_0$ die Grundperiode von $f$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Kreisfrequenz:{ Den einer Periode $T$ zugeordneten Wert \[ \omega=\frac{2\pi}T \] nennt man die Kreisfrequenz. Die der Grundperiode $T_0$ eines Signals zugeordnete Kreisfrequenz hei"st Grundkreisfrequenz $\omega_0$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Trigonometrische Reihe:{ \index{Reihe>trigonometrische} Seien $a_k,b_k\in\SetR$ ($k\nnatural$). Dann hei"st eine Funktionenreihe der Gestalt \[ f(x)=\frac{a_0}2+\sumn 1 a_n \cos(\omega_0 nx) + b_n \sin(\omega_0 nx) \] eine trigonometrische Reihe oder \indexthis{Fourierreihe} mit Periode $T_0$. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem: $f$ trigonometrische Reihe => { Sei \[ f(x)=\frac{a_0}2+\sumn 1 a_n \cos(\omega_0 nx) + b_n \sin(\omega_0 nx) \] mit $a_n,b_n\real$. Dann legt man f"ur $k=1\ldots n$ fest \begin{align*} c_k&:=\frac{a_k-ib_k}2 \\ c_0&:=\frac{a_0}2 \\ c_{-k}&:=\frac{a_k+ib_k}2 \end{align*} Dann gilt \begin{align*} f(x)&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i\omega_0 nx} \\ &=\underbrace{ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n-ib_n}2 (\cos(-\omega_0 nx)+i\sin(-\omega_0 nx)) + }_{\text{``negative H"alfte''}} \frac{a_0}2 + \underbrace{ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n+ib_n}2 (\cos(\omega_0 nx)+i\sin(\omega_0 nx)) }_{\text{``positive H"alfte''}}\\ &=\frac{a_0}2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n-ib_n}2 (\cos(\omega_0 nx)-i\sin(\omega_0 nx)) + \underbrace{\frac{a_n+ib_n}2 (\cos(\omega_0 nx)+i\sin(\omega_0 nx))} _{\text{konjugiert komplex zum 1. Summanden}} \\ &=\frac{a_0}2 + \sum_{n=1}^\infty 2\Re(\frac{a_n+ib_n}2(\cos(\omega_0 nx)-i\sin(\omega_0 nx)) \\ &=\frac{a_0}2 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(\omega_0 nx)+b_n\sin(\omega_0 nx) \end{align*} } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Integral "uber beliebiges Intervall:{ Der Ausdruck \[ \int_T f(x) dx = a \] mit $f:\SetR\to\SetR$, $T,a\real$ bedeutet \[ (\forall s\real)(\int_s^{s+T} f(x) dx = a) \] } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Orthogonalit"atsrelationen: $m,n\natural$ => { Dann gilt: \begin{stmts} \item \[ \int_{2\pi} \sin(mx) \cdot \sin (nx) dx= \begin{cases} 0 & \text{f"ur $m\ne n$} \\ \pi & \text{f"ur $m=n>0$} \\ 0 & \text{f"ur $m=n=0$} \\ \end{cases} \] \item \[ \int_{2\pi} \sin(mx) \cdot \cos (nx) dx=0 \] \item \[ \int_{2\pi} \cos(mx) \cdot \cos (nx) dx= \begin{cases} 0 & \text{f"ur $m\ne n$} \\ \pi & \text{f"ur $m=n>0$} \\ 2\pi & \text{f"ur $m=n=0$} \\ \end{cases} \] \item Oder, deutlich k"urzer und eleganter: \[ \int_{2\pi} e^{inx}\cdot e^{-imx} dx= \begin{cases} 0 & \text{f"ur $m\ne n$} \\ 2\pi & \text{f"ur $m=n$} \end{cases} \] \item Und noch allgemeiner: \[ \int_{T_0} e^{i\omega_0 (n-m) x} dx= \begin{cases} 0 & \text{f"ur $m\ne n$} \\ T_0 & \text{f"ur $m=n$} \end{cases} \] \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem: $f:(-T_0/2,T_0/2]\to\SetR$ integrierbar und durch eine konvergente trigonometrische Reihe darstellbar => { \label{the:contfourseries} Sei \[ g(x):=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i\omega_0 nx} \] mit \[ c_n:=\frac 1 {T_0} \int_{T_0} f(x) e^{-i\omega_0 nx} dx \] Dann gilt $f(x)=g(x)$. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Dirichletsche Bedingungen: $f:\SetR\to\SetR$ $T_0$-periodisch => { Gelten f"ur $f$ die folgenden drei Bedinungen \begin{stmts} \item $f$ ist absolut integrierbar: \[ \int_{T_0} |f(x)| dx < \infty \] \item $f$ ist auf ganz $\SetR$ von beschr"ankter Variation \item $f$ hat auf jedem endlichen Intervall h"ochstens endlich viele Unstetigkeitsstellen. \end{stmts} so ist $f$ als Fourier-Reihe darstellbar. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Insbesondere erf"ullen st"uckweise stetig differenzierbare Funktionen die Dirichletschen Bedinungen. } % ----------------------------------------------------------------------- \subsection{Fourier-Transformation f"ur aperiodische kontinuierliche Signale} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Fourier-Transformation:{ Sei $f$ ein aperiodisches Signal, f"ur das gilt $(\forall |x|>T_1)(f(x)=0)$. Sei $\tilde f(x)$ die periodische Fortsetzung von $f$ mit Periode $T_0>T_1$. Betrachte \ref{the:contfourseries}. Setzt man \[ \FT(\tilde f)(n\omega_0)=T_0 c_n=\int_{T_0} \tilde f(x) e^{-i\omega_0 nx} dx \] so gilt \[ \tilde f(x)=\frac 1 {2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \FT(\tilde f)(n\omega_0) e^{i\omega_0 nx} \omega_0 \] L"asst man nun $T_0\to\infty$, also $\omega_0\to 0$ (und somit auch ``$\tilde f\to f$'') gehen und verallgemeinert man $\FT(f)(n\omega_0)$ f"ur beliebige $\omega$ (``$\omega:=n\omega_0$''), erh"alt man die Analysegleichung \[ \FT(f)(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x} dx \] und die Synthesegleichung \[ \FT^{-1}(\FT(f))(x)=f(x)= \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^\infty \FT(f)(\omega) e^{i\omega x} d\omega \] der Fouriertransformation. Hierbei nennt sich $\FT(f):\SetR\to\SetR$ die Fourier-Transfomierte bzw. das \indexthis{Spektrum} von $f$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark Weitere Spektren:{ Weiterhin unterscheidet man folgende Spektren: \begin{itemize} \item \indexthis{Amplitudenspektrum} $|\FT(f)|$ \item \indexthis{Phasenspektrum} $\phi(\omega):=\arctan \frac {\Im(\FT(f))}{\Re(\FT(f))}$ \item \indexthis{Leistungsspektrum} $|\FT(f)|^2$ \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Dirichletsche Bedingungen: $f:\SetR\to\SetR$ => { Gelten f"ur $f$ die folgenden drei Bedinungen \begin{stmts} \item $f$ ist absolut integrierbar: \[ \int_{-\infty}^\infty |f(x)| dx < \infty \] \item $f$ ist auf ganz $\SetR$ von beschr"ankter Variation \item $f$ hat auf jedem endlichen Intervall h"ochstens endlich viele Unstetigkeitsstellen. \end{stmts} so hat $f$ eine Fourier-Transformierte und es gilt $\FT^{-1}\circ\FT(f)=f$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Dirac-Distribution:{ Die Zuordnung $\delta:\SetR\to\SetR$ mit \[ \delta(x):=\begin{cases} 0 & \text{f"ur $|x|>\epsilon$} \\ \frac 1 {2\epsilon} & \text {f"ur $|x|\le 2\epsilon$} \end{cases} \] und $\epsilon\to 0+$ ist eine m"ogliche Ann"aherung der Dirac-Distribution. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Einheitssprung:{ Das kontinuierliche Signal \[ \sigma(x):=\begin{cases} 0 & \text{f"ur $x<0$} \\ 1 & \text{f"ur $x\ge 0$} \\ \end{cases} \] nennt man das Einheitssprung-Signal. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ N"aherungsweise gelten: \begin{stmts} \item \[ \frac {d\sigma}{dx}=\delta(x) \] \item \[ \int_{-\infty}^\infty \delta(x) dx = 1 \] \item \[ \int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x) dx = f(0) \] \end{stmts} Aus (3) folgt, dass die Fouriertransformierte des Impulses konstant $1$ ist. } % ----------------------------------------------------------------------- \example:{ Es gelten: \begin{align*} \FT(1)(\omega) &= 2\pi \delta(\omega) \\ \FT(\delta(x))(\omega) &= 1 \\ \FT(\sigma(x))(\omega) &= \pi \delta(\omega)-i\frac 1 \omega \\ \FT(e^{i\omega_0 x})(\omega) &= 2\pi\delta(\omega-\omega_0) \\ \FT(\sin(\omega_0 x))(\omega) &= -i\pi [\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] \\ \FT(\cos(\omega_0 x))(\omega) &= \pi [\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)] \\ \FT(\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(x-kT_0))(\omega) &= \omega_0 \sum_{k=-\infty}^\infty \delta(\omega-k\omega_0) \\ \end{align*} } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Sei $f$ durch eine trigonometrische Reihe darstellbar. Dann folgt mit Hilfe des Beispiels, dass $\FT(f)$ aus einer Summe von Impulsen besteht, deren Intensit"aten den Fourier-Koeffizienten entsprechen. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Faltung:{ Seien $f,g:\SetR\to\SetR$ Funktionen. Dann nennt man \[ (f*g)(t):=\int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)g(\tau) d\tau \] die Faltung von $f$ und $g$. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Eigenschaften der Fourier-Transformation: $f,g$ kontinuierliche Signale, $a,b\complex$, $t_0\real$=> { Es gelten \begin{stmts} \item Linearit"at: \[ \FT(af+bg)=a\FT(f)+b\FT(g) \] \item Differentiation: \[ \FT(f^{(n)})=(i\omega)^n \FT(f) \] \item Originalverschiebung: \[ \FT(f(x-x_0))(\omega)=e^{-i\omega x_0} \FT(f)(\omega) \] \item Dehnung: \[ \FT(f(ax))(\omega)=\frac 1 {|a|} \FT(f)(\frac \omega a) \] \item Faltung: \[ \FT(f*g)=\FT(f)\cdot \FT(g) \] \item Konjugierte Symmetrie: \[ \FT(f)(-\omega)=\FT^*(f)(\omega) \] \end{stmts} wobei $x^*$ die zu $x$ konjugiert komplexe Zahl darstellt. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Aus der konjugierten Symmetrie ergibt sich (durch Substitution im Integral), dass gerade Signale ($f(x)=f(-x)$) eine rein reelle und gerade Fouriertransformierte haben, w"ahrend reelle ungerade Signale eine rein imagin"are und ungerade Fouriertransformierte haben. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Reziprozit"at der Fouriertransformation: $f$ kontinuierliches Signal, $g:=\FT(f)$ => { Falls $g$ existiert, gilt \[ \FT(g)(\omega)=2\pi f(-\omega) \] } % ----------------------------------------------------------------------- \subsection{Fourier-Reihe f"ur periodische diskrete Signale} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Diskretes Signal:{ \index{Signal>diskretes} Ein diskretes Signal sei hier eine Funktion $f:\SetZ\to\SetR$, dargestellt als $f[x]:=y$, wobei $x\integer$ und $y\real$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Periodisches Signal:{ \index{Signal>periodisches} Gilt f"ur alle $x\integer$ und ein $N\natural$ \[ f[x]=f[x+N] \] so hei"st $f$ periodisch mit der \indexthis{Periode} $N$. (kurz: $N$-periodisch) Existiert ein kleinstes $N_0\natural$, so dass $f$ $N_0$-periodisch ist, so nennt man $N_0$ die Grundperiode von $f$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Kreisfrequenz:{ Den einer Periode $N$ zugeordneten Wert \[ \omega=\frac{2\pi}N \] nennt man die Kreisfrequenz. Die der Grundperiode $N_0$ eines Signals zugeordnete Kreisfrequenz hei"st Grundkreisfrequenz $\omega_0$. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Periodizit"at von diskreten komplex exponentiellen Signalen: $f$ diskretes komplex exponentielles Signal=> { \label{the:discperiodicity} Sei $f[x]:=e^{i \omega x}$. Dann ist $f$ genau dann periodisch, wenn es $m,N\natural$ gibt mit $\frac{\omega}{2\pi}=\frac m N$. Die Grundperiode ist dann $N_0=N=m\frac{2\pi}{\omega}$. Dass solche $m,N$ existieren sei ab jetzt immer vorausgesetzt, wenn $\omega_0$ erscheint. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Summe "uber beliebigen Bereich:{ Der Ausdruck \[ \sum_{n=} f[n] = a \] mit $f:\SetZ\to\SetR$, $N\natural,a\real$ bedeutet \[ (\forall s\integer)(\sum_{n=s}^{s+N} f[n] = a) \] } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Trigonometrische Reihe:{ \index{Reihe>trigonometrische} Seien $c_n\real$ ($n\integer$). Dann hei"st eine Funktionenreihe der Gestalt \[ f[x]=\sum_{n=} c_n e^{i\omega_0 nx} \] eine trigonometrische Reihe oder \indexthis{Fourierreihe} mit Periode $N_0$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Da gilt \[ e^{i\omega_0 n}=e^{i\omega_0 (n+N_0)} \] gen"ugen f"ur eine $N_0$-periodische Fourierreihe $N_0$ Koeffizienten. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem: $k\natural$ => { Dann gilt: \[ \sum_{n=} e^{i\omega_0 nk} = \begin{cases} N_0 & \text{f"ur $k=zN_0$ ($z\integer$)} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \] } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem: $f:\SetZ\to\SetR$ diskretes $N_0$-periodisches Signal => { \label{the:discfourseries} Sei \[ g[x]:=\sum_{n=} c_n e^{i\omega_0 nx} \] mit \[ c_n:=\frac 1 {N_0} \sum_{x=} f[x] e^{-i\omega_0 nx} \] Dann gilt $f[x]=g[x]$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Diese Zerlegung existiert f"ur jedes $N_0$-periodische Signal. } % ----------------------------------------------------------------------- \subsection{Fourier-Transformation f"ur aperiodische diskrete Signale} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Fourier-Transformation:{ Sei $f$ ein aperiodisches Signal, f"ur das gilt $(\forall |x|>N_1)(f[x]=0)$. Sei $\tilde f$ die periodische Fortsetzung von $f$ mit Periode $N_0>N_1$. Betrachte \ref{the:discfourseries}. Setzt man \[ \FT(\tilde f)(n\omega_0)=N_0 c_n=\sum_{x=} \tilde f[x] e^{-i\omega_0 nx} \] so gilt \[ \tilde f[x]=\frac 1 {2\pi} \sum_{n=} \FT(\tilde f)(n\omega_0) e^{i\omega_0 nx} \omega_0 \] L"asst man nun $N_0\to\infty$, also $\omega_0\to 0$ (und somit auch ``$\tilde f\to f$'') gehen und verallgemeinert man $\FT(f)(n\omega_0)$ f"ur beliebige $\omega$ (``$\omega:=n\omega_0$''), erh"alt man die Analysegleichung \[ \FT(f)(\omega)=\sum_{x=-\infty}^\infty f[x] e^{-i\omega x} dx \] und die Synthesegleichung \[ \FT^{-1}(\FT(f))[x]=f[x]= \frac 1 {2\pi} \int_{2\pi} \FT(f)(\omega) e^{i\omega x} d\omega \] der Fouriertransformation. Hierbei nennt sich $\FT(f):\SetR\to\SetR$ die Fourier-Transfomierte bzw. das \indexthis{Spektrum} von $f$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Hier wirkt sich die Reziprozit"at deutlich aus: Bei der kontinuierlichen Fourierreihe war das Spektrum diskret, jedoch das Signal kontinuierlich, hier ist das Spektrum kontinuierlich, jedoch das Signal diskret. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Die Eigenschaften der diskreten Fouriertransformation ergeben sich analog zur kontinuierlichen. } % ----------------------------------------------------------------------- \subsection{Erg"anzungen} % ----------------------------------------------------------------------- \definition DFT:{ Sei $f$ ein aperiodisches diskretes Signal, f"ur das gilt $(\forall x\not\in\{0,\ldots,N_1-1\})(f[x]=0)$. Sei $\tilde f$ die periodische Fortsetzung von $f$ mit Periode $N_0>N_1$ so, dass $f[x]=\tilde f[x]$ f"ur alle $x\in\{0,\ldots,N_0-1\}$. Betrachte \ref{the:discfourseries}. Setzt man \[ \DFT(f)[n]=c_n=\frac 1 {N_0} \sum_{x=0}^{N_0-1} \tilde f[x] e^{-i\omega_0 nx} \] so gilt \[ f[x]\approxeq\tilde f[x]=\sum_{x=0}^{N_0-1} \DFT(f)[n] e^{i\omega_0 nx} \] Dann nennt man $\DFT(f)$ die diskrete Fouriertransformierte von $f$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Die diskrete Fouriertransformation ist \emph{nicht} gleich der Fouriertransformation eines diskreten Signals. (dieser aber in gewisser Weise "ahnlich) } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Da gilt \[ e^{i\omega_0 nx}= (\underbrace{e^{i 2\pi/N_0}}_{\text{$N_0$-te Einheitswurzel}})^{xn} \] l"asst sich die DFT mit Hilfe der DFT-Matrix auf einen Schlag berechnen. (Beachte formale "Ubereinstimmung der DFT-Synthesegleichung mit der Matrixmultiplikation mit der DFT, ebenso der DFT-Analyse mit der Inversen der DFT-Matrix) } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Bandbegrenztheit:{ Sei $f:\SetR\to\SetR$, eine Funktion, $F:\SetR\to\SetC$ ihre Fouriertransformierte. Dann hei"st $f$ bandbegrenzt mit der Grenzkreisfrequenz $\omega_g$ genau dann, wenn gilt \[ f(t)=\frac 1 {2\pi} \int_{-\omega_g}^{\omega_g} F(\omega) d\omega \] } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ F"ur eine mit $\omega_g$ bandbegrenzte Funktion folgt $\omega>\omega_g\implies F(\omega)=0$. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Abtasttheorem: $f:\SetR\to\SetR$ $\omega$-periodisch, bandbegrenzt mit $\omega_g$ => { Sei $n:=\frac {\omega_g}\omega$. W"ahle ein $t_s$ mit $|t_s|<\frac \pi {\omega_g}$ und ein $t_0\in\SetR$ beliebig. Dann ist $f$ durch die Funktionswerte $f(t_0-nt_s),\ldots,f(t_0+nt_s)$ eindeutig bestimmt. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Betrachtet man das Abtasten/Samplen als Faltung mit einer Impulssequenz der Frequenz $\omega_0$, so ergibt sich als Fouriertransformierte eine Reihe von Spektren im Abstand $\omega_0$. R"ucken diese nun so dicht aneinander, dass sie sich "uberlappen (ist also der Abstand der Spektren $\omega_0$ kleiner als deren jeweilige Ausdehnung $2\omega_g$),so "uberlappen sich diese (Aliasing) und das urspr"ungliche Signal ist nicht mehr rekonstruierbar. } % ----------------------------------------------------------------------- \para{Information und Kodierung} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Alphabet:{ Ein Alphabet $A$ ist eine geordnete endliche Menge von Symbolen. \[ A=(a_1,a_2,\ldots,a_n) \] } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Verteilung eines Alphabets:{ Als Verteilung $p_A$ eines Alphabets $A$ bezeichnet man einen Vektor von normierten Wahrscheinlichkeiten, der f"ur jedes Zeichen angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit es auftritt. \[ p_A=(p(a_1),p(a_2),\ldots,p(a_n)) \] ``Normiert'' bedeutet, dass gelten muss \[ 1 = \sum_{k=1}^n p(a_i) \] } % ----------------------------------------------------------------------- \definition "Ubertragungseinrichtung:{ Zu einer "Ubertragungseinrichtung geh"oren ein \indexthis{Sender} mit einem Senderalphabet $S=(s_1,s_2,\ldots,s_n)$ und einer Verteilung $p_S=(p(s_1),p(s_2),\ldots,p(s_n))$, ein \indexthis{Empf"anger} mit einem mit einem Empf"angeralphabet $E=(e_1,e_2,\ldots,e_m)$ und einer Verteilung $p_E=(p(e_1),p(e_2),\ldots,p(e_m))$ und einem "Ubertragungskanal, der definiert wird durch eine Matrix von bedingten Wahrscheinlichkeiten $p_K=((p(e_i|s_j)))$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Bei dieser Definition einer "Ubertragungseinrichtung ist die Verteilung des Empf"angers durch Senderverteilung und Kanalmatrix in folgender Weise vollst"andig bestimt: \[ p(e_i)=\sum_{j=1}^n p(e_i|s_j) \cdot p(s_j) \] } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Information:{ Gesucht ist als $I(p)$ der mittlere Informationswert eines Zeichens aus einem Alphabet $A$ mit der Verteilung $p_A$, bzw. als $I(p_S,p_E)$ der mittlere Informationswert eines Zeichens aus dem Empf"angeralphabet $E$ mit der m"oglicherweise "uber die Kanalmatrix $p_K$ von der Senderverteilung $p_S$ abh"angigen Verteilung $p_E$. An beide stellt man folgende Forderungen: \begin{stmts} \item \textbf{Stetigkeit:} $I(p_A)$ und $I(p_S,p_E)$ sind f"ur die Wahrscheinlichkeitswerte $\in[0,1]$ stetig. \item \textbf{Positivit"at:} $I(p_A)\ge 0$, $I(p_S,p_E)\ge 0$ \item \textbf{Sicherheit:} Man nennt eine Verteilung degeneriert $:\equiv$ sie ist eine Permutation von $(1,0,\ldots,0)$. Ist $p$ degeneriert, gilt $I(p_A)=0$, sind $p_S$ und $p_E$ beide degeneriert, so gilt $I(p_S,p_E)=0$. \item \textbf{Unsicherheit:} Maximum der Information genau dann, wenn $p$ bzw. $p_S,p_E$ Gleichverteilungen sind. \item \textbf{Additivit"at:} Sind $p_S$ und $p_E$ unabh"angige Verteilungen, dann gilt $I(p_S,p_E)=I(p_S)+I(p_E)$. (bezogen auf obiges Modell m"usste gelten $p(e_i|s_j)=p(e_i)$) \end{stmts} Die beiden folgenden Terme erf"ullen die obigen Forderungen: \begin{align*} I(p)&=\sum_{i=1}^n p(a_i) \log_2 \frac 1 {p(a_i)} \\ I(p_S,p_E)&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n p(e_i|s_j)\cdot p(s_j) \log_2 \frac 1 {p(e_i|s_j)\cdot p(s_j) } \end{align*} Hierbei muss man zur Wahrung der Stetigkeit $0 \log_2 0:=0$ festlegen. Der Zahlenwert $I(p)$ wird als Information, \indexthis{Unsicherheit} oder \indexthis{Entropie} bezeichnet. Die Information $I(p)$ wird in bit angegeben. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition bit:{ Die Information $I(p)$ zweier sich gegenseitig ausschliessender Ereignisse, die beide gleich wahrscheinlich sind, ist $1$ bit. (Ein bit darf nicht mit dem technischen Ausdruck Bit verwechselt. Ersteres ist das Z"ahlma"s der Information, w"ahrend letzteres einer Bin"arziffer entspricht.) } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Mittlere Wortl"ange:{ \index{Wortl"ange>mittlere} Sei $N_i$ die Anzahl Bits, die zur Kodierung des Zeichens $a_i$ aus dem Alphabet $A$ mit der Verteilung $p_A$ verwendet wird. Dann hei"st \[ L(p_A):=\sum_{i=1}^n p_A(a_i) N_i \] die mittlere Wortl"ange von $A$ bez"uglich $p_A$ und den Zeichenl"angen $N_i$ } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Kodierungstheorem von Shannon: $A$ Alphabet mit Verteilung $p_A$, $N_i$ Zeichenl"angen => { \index{Shannon>Kodierungstheorem von} Dann gilt \[ I(p_A)\,\mathrm{Bit} \le L(p_A) \] } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Datei:{ Sei $A$ ein Alphabet. Dann ist eine Datei $(f_i):\{0,\ldots,m\}\to A$ eine endliche Folge $f_i$ von Elementen von $A$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Arten von Codes:{ Ein Code hei"st \begin{itemize} \item \textit{pr"afixfrei} bzw. \textit{Pr"afixcode}, wenn keines seiner Symbole Pr"afix eines anderen ist \item \textit{eindeutig} bzw. nicht \textit{ambig}, wenn es zu seiner Dekodierung nur eine M"oglichkeit gibt \item \textit{sofort dekodierbar} wenn zu seiner Dekodierung kein Lookahead erforderlich ist \end{itemize} \index{Pr"afixcode} \index{Code>pr"afixfreier} \index{Code>eindeutiger} \index{Code>sofort dekodierbarer} } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Erzeugung des Huffman-Codes:{ \given Alphabet $A=(a_1,\ldots,a_n)$, Datei $(f_i)_{i=0}^m$ \aim Huffman-Baum $T$, der einen optimalen pr"afixfreien bin"aren Code f"ur die gegebene Datei repr"asentiert \begin{proc} \item Berechne f"ur jedes Zeichen $a_i$ die absolute H"aufigkeit $n(a_i)$ in $(f_i)$ \item Baue einen Heap $H$ auf, der die Zeichen von $A$ nach ihrer absoluten H"aufigkeit $n(a_i)$ ordnet (geringste zuoberst) \item Lege einen leeren Baum $T$ an \item Solange $H$ nicht leer ist \begin{itemize} \item Ist nur noch ein Zeichen $c$ in $H$ enthalten, so nimm den $c$ entsprechenden Knoten in $T$ als Wurzel und beende \item Entferne die zwei Zeichen $c$ und $d$ mit geringster H"aufigkeit aus dem Heap \item Erzeuge ein Pseudozeichen $z$, das in $T$ Elternknoten von $c$ und $d$ wird. Setze $n(z):=n(c)+n(d)$. F"uge $z$ mit $n(z)$ in $H$ ein. \end{itemize} \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Kolmogorov-Komplexit"at:{ Ordnet einer Datenmenge die L"ange des k"urzesten Programms, das diese Datenmenge generiert, als Komplexit"at zu. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm RLE-Kompression:{ Kodiert Wiederholungen durch Bl"ocke der Art (Anzahl,Datenelement). } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Parit"at:{ Das Parit"atsverfahren besteht im Anf"ugen eines zus"atzlichen Bits an eine Bitsequenz, so dass eine bestimmte Eigenschaft der Gesamtsequenz sichergestellt ist. Man unterscheidet \begin{itemize} \item Das Anf"ugen eines Bits so, dass die Anzahl der Einsen stets gerade ist (even parity) \item Das Anf"ugen eines Bits so, dass die Anzahl der Einsen stets ungerade ist (odd parity) \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Rechteck-Code:{ Man denke sich eine Sequenz von $m\cdot n$ Bits ($m,n\natural$) in einer $m\times n$-Matrix angeordnet. Bildet man nun "uber jede Spalte und jede Zeile eine Parit"at, so kann man bei einem fehlerhaften Bit anhand der beiden falschen Parit"aten das fehlerhafte Bit erkennen und ``umdrehen''. Analog: \indexthis{Dreieck-Code}, \indexthis{kubische Codes} } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Hat man f"ur zwei Bitsequenzen die Parit"aten $p_1$ und $p_2$ ermittelt, so l"asst sich mit Hilfe der Operation $p_1\text{ xor } p_2$ die Parit"at der gesamten Sequenz ermitteln. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Pr"ufsumme:{ F"ur eine Datei $(f_i)_{i=1}^n$ gibt es verschiedene Varianten, Pr"ufsummen zu ermitteln: \begin{itemize} \item Einfach: \[\sum_{i=1}^n f_i\] \item Gewichtet: \[\sum_{i=1}^n i\cdot f_i\] \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Verlustbehaftete Kompression:{ \index{Kompression>verlustbehaftete} Man spricht von verlustbehafteter Kompression, wenn aus den komprimierten Daten die Originaldaten nicht vollst"andig identisch rekonstruiert werden k"onnen. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm $k$-Mittelwerte Algorithmus:{ \given Ein Vektorraum $\VR V$ mit Abstandsfunktion $d(x,y):\VR V\times\VR V\to\SetR$, $v_1,\ldots,v_n\in\VR V$, $k\natural$ \aim Ein Codebuch $C=\{\mu_1,\ldots,\mu_k\}$, so dass eine Abbildung $\phi:V\to\{0,\ldots,k\}$ gefunden werden kann, f"ur die \[ \sum_{i=1}^n d(\mu_{\phi(v_i)},v_i) \] einem lokalen Minimum nahekommt. \begin{proc} \item Initialisiere $\mu_i$ mit beliebigen $v_j$. ($i\in\{1,\ldots k\}$,$j\in\{1,\ldots n\}$) \item Solange Quantisierungsfehler zu gro"s \begin{itemize} \item Z"ahle je Codebuchvektor $\mu_i$ die auf diesen Vektor abgebildeten Mustervektoren, setze deren Anzahl \[ n[i]:=|\{j\mid \phi(v_j)=i\}| \] \item Lege einen neuen Satz von Codebuchvektoren $\mu_1',\ldots,\mu_k'$ nach folgendem Verfahren fest: \[ \mu_i':=\frac 1 {n[i]} \sum_j \begin{cases} v_j & \phi(j)=i \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \] \item Nimm das Codebuch $(\mu_i')$ als neues Codebuch $(\mu_i)$ \end{itemize} \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Die Menge aller jeweils einem Vektor aus dem Codebuch zugeordneten Vektoren nennt man Voronoi-Region. } % ----------------------------------------------------------------------- \para{Problemklassen} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Entscheidungsproblem:{ Ein Entscheidungsproblem ist ein Problem, dessen L"osung f"ur alle m"oglichen Eingaben in einer Ja-Nein-Antwort besteht. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Sei $U$ die Menge aller m"oglichen Eingaben eines Entscheidungsproblems, und sei $L\subseteq U$ die Menge aller Eingaben, f"ur die die Antwort ``ja'' lautet. Dann nennt man $L$ die dem Problem entsprechende Sprache. Folglich kann jedes Entscheidungsproblem als ein Spracherkennungsproblem aufgefasst werden. Die Begriffe ``Problem'' und ``Sprache'' k"onnen weiterhin als gleichwertig aufgefasst werden. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Polynomialer Algorithmus:{ \index{Algorithmus>polynomialer} Ein Algorithmus hei"st polynomial genau dann, wenn seine asymptotische Laufzeit $O(T(n))$ durch ein Polynom dargestellt werden kann. U.a. erf"ullen polynomiale Algorithmen die Beziehung \[ T(cn)=O(T(n))\quad c\in\SetR^+ \] Die Begriffe effizient bzw. machbar (tractable) sind in Bezug auf Algorithmen synonym zu polynomial. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Man spricht auch von einem ``polynomialen Problem'' und meint damit die Polynomialit"at des Algorithmus, der das Problem in den asymptotisch wenigsten Schritten l"ost. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Man kann zeigen, dass die meisten ``sinnvollen'' Rechnerarchitekturen einander in polynomialer Zeit emulieren k"onnen. Damit ist jeder polynomiale Algorithmus auf jeder ``sinnvollen'' Maschine polynomial. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Reduzierbarkeit:{ \index{Reduzierbarkeit} Seien $L_1\subseteq U_1$ und $L_2\subseteq U_2$ zwei Sprachen. Dann nennt man $L_1$ reduzierbar auf $L_2$, falls es einen Algorithmus $f:U_1\to U_2$ gibt, so dass gilt $f(L_1)=L_2$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Polynomiale Reduzierbarkeit:{ \index{Reduzierbarkeit>polynomiale} Seien $L_1\subseteq U_1$ und $L_2\subseteq U_2$ zwei Sprachen. Dann nennt man $L_1$ polynomial reduzierbar auf $L_2$, falls es einen polynomialen Algorithmus $f:U_1\to U_2$ gibt, so dass gilt $f(L_1)=L_2$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Polynomiale "Aquivalenz:{ \index{"Aquivalenz>polynomiale} Seien $L_1\subseteq U_1$ und $L_2\subseteq U_2$ zwei Sprachen. Dann nennt man $L_1$ polynomial "aquivalent zu $L_2$, falls $L_1$ und $L_2$ gegenseitig aufeinander polynomial reduzierbar sind. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem: $L_1, L_2$ Sprachen, $L_2$ polynomial erkennbar, $L_1$ auf $L_2$ polynomial reduzierbar => { Dann existiert auch ein polynomialer Algorithmus f"ur die Erkennung von $L_1$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Polynomiale Reduzierbarkeit und damit auch polynomiale "Aquivalenz sind transitive Relationen. Hat man f"ur ein Problem ein Laufzeitminimum bewiesen, und kann dieses Problem auf ein anderes reduziert werden, so hat auch das letztere das f"ur das erste bewiesene Laufzeitminimum. (Voraussetzung: Aufwand des Algorithmus asymptotisch gr"o"ser als Aufwand der Reduktion) } % ----------------------------------------------------------------------- \problem Lineare Optimierung:{ \index{Optimierung>lineare} Gegeben ist eine Zielfunktion $f:\SetR^n\to\SetR$ mit folgender Gestalt \[ f(x):=\vec a\cdot \vec x \] wobei $\vec a=(a_1,\ldots,a_n)\in\SetR^n$ und $\vec x=(x_1,\ldots,x_n)\in U$. Der Wertebereich $U$, in dem sich die Werte von $x$ bewegen d"urfen, wird eingeschr"ankt durch Bedingungen der folgenden drei Arten \begin{stmts} \item $\vec\alpha_i \cdot \vec x \le \beta_i$, wobei $\vec\alpha_i\in\SetR^n,\beta_i\real$ \item $\vec\gamma_i \cdot\vec x = \delta_i$, wobei $\vec\gamma_i\in\SetR^n,\delta_i\real$ \item $x_i\ge 0$ \end{stmts} F"ur die lineare Optimierung gibt es polynomiale Algorithmen. Weiterhin ist die ganzzahlige lineare Optimierung ($\vec x\in\SetN^n$) ziemlich schwierig. } % ----------------------------------------------------------------------- \problem Problem des Philantropen:{ $n_S$ Spender wollen an $n_E$ Empf"anger spenden, es existieren jedoch Beschr"ankungen der folgenden Arten: \begin{itemize} \item Ein Spender hat eine Spendeh"ochstsumme \item Ein Empf"anger hat eine Empfangsh"ochstsumme \item Ein Spender will nur einen H"ochstbetrag an einen bestimmten Spender richten \end{itemize} Welches ist die Verteilung, die die meisten Spendengelder flie"sen l"asst? } % ----------------------------------------------------------------------- \problem Zuweisungsproblem:{ $n_S$ Spender wollen an $n_E$ Empf"anger spenden, es existieren jedoch Beschr"ankungen der folgenden Arten: \begin{itemize} \item Ein Spender spendet an h"ochstens einen Empf"anger \item Ein Spender hat eine Spendeh"ochstsumme \item Ein Empf"anger hat eine Empfangsh"ochstsumme \item Ein Spender will nur einen H"ochstbetrag an einen bestimmten Spender richten \end{itemize} Welches ist die Verteilung, die die meisten Spendengelder flie"sen l"asst? } % ----------------------------------------------------------------------- \example:{ Die folgenden Probleme sind polynomial aufeinander reduzierbar (``$\rightarrow$''): \begin{itemize} \item System verschiedener Repr"asentanten $\rightarrow$ bipartites Matching (Jede Menge und jedes Element in der Gesamtvereinigung bekommt einen Knoten) \item Editierdistanz $\rightarrow$ K"urzester-Pfad-Problem \item Suche nach Dreiecken in Graphen $\rightarrow$ Multiplikation boolescher Matrizen \item Netzwerkflussproblem $\rightarrow$ Lineare Optimierung \item Statisches Routing $\rightarrow$ Lineare Optimierung \item Problem des Philantropen $\rightarrow$ Lineare Optimierung \item Zuweisungsproblem $\rightarrow$ Lineare Optimierung \item Sortieren $\leftrightarrow$ Erzeugung eines kreuzungsfreien Polygons \item Multiplikation symmetrischer Matrizen $\leftrightarrow$ Multiplikation zweier beliebiger Matrizen \item Quadrieren einer Matrix $\leftrightarrow$ Multiplikation zweier beliebiger Matrizen \end{itemize} Diese Aufz"ahlung umfasst alle Beispiele der Vorlesung. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Nichtdeterministischer Algorithmus:{ \index{Algorithmus>nichtdeterministischer} Ein nichtdeterministischer Algorithmus, der zus"atzlich zu den verschiedenen ``"ublichen'' Operationen eine zus"atzliche Verzweigungsoperation gestattet, deren beide Zweige gewisserma"sen ``gleichzeitig'' ausgef"uhrt werden. Die Ausf"uhrung eines nichtdeterministischen Problems resultiert also in einer Masse von Einzelergebnissen, entsprechend den f"ur verschiedene Verzweigungen ausgew"ahlten Wegen. Als Ergebnis eines nichtdeterministischen Spracherkennungsalgorithmus gilt die Disjunktion aller Ergebnisse. (mindestens einmal wahr $\implies$ wahr, alle falsch $\implies$ falsch) } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Problemklasse P:{ Man sagt, ein Problem sei in P $:\equiv$ es gibt f"ur das Problem einen deterministischen Algorithmus mit polynomialer Laufzeit. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Problemklasse NP:{ Man sagt, ein Problem sei in NP $:\equiv$ es gibt f"ur das Problem einen nichtdeterministischen Algorithmus mit polynomialer Laufzeit. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Offensichtlich gilt P $\subseteq$ NP. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition $K$-hart:{ Sei $K$ eine Problemklasse und $P$ ein Problem. Dann hei"st $P$ $K$-hart, falls jedes Problem aus $K$ polynomial auf $P$ reduzierbar ist. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition $K$-vollst"andig:{ Sei $K$ eine Problemklasse und $P$ ein $K$-hartes Problem. Dann hei"st $P$ $K$-vollst"andig, falls $P$ selbst in $K$ liegt. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem: $L_1,L_2$ Sprachen, $L_2$ NP-vollst"andig, $L_2$ auf $L_1$ reduzierbar, $L_1$ in NP => { Dann ist auch $L_1$ NP-vollst"andig. } % ----------------------------------------------------------------------- \problem SAT:{ \index{Satisfiability} Finde zu einer gegebenen aussagenlogischen Formel in konjunktiver Normalform eine Variablenbelegung, so dass die Auswertung der Formel den Wert ``Wahr'' ergibt. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Cook:=> { SAT ist NP-vollst"andig, denn (a) jeder von einer Turingmaschine entscheidbare Algorithmus l"asst sich auf SAT zur"uckf"uhren (b) SAT ist in NP. } % ----------------------------------------------------------------------- \problem Cliquenproblem:{ Gegeben ist ein Graph $G$, gesucht ist eine Clique mit $k$ Elementen in $G$. Das Cliquenproblem ist NP-vollst"andig, da SAT darauf reduzierbar ist und es selbst in NP liegt. (Man erzeugt einen Graphen mit einer ``Spalte'' f"ur jede Klausel mit allen Literalen dieser Klausel, erzeugt dann zwischen je zwei Variablen, die nicht in der gleichen Spalte stehen, und nicht zueinander negiert sind, eine Kante. Dann ist jede Clique eine m"ogliche Belegung und jede m"ogliche Belegung eine Clique.) } % ----------------------------------------------------------------------- \problem 3SAT:{ \given Eine aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform, bei der pro konjunktiv verbundenem Einzelterm nur drei Variablen vorkommen \aim Eine Belegung der vorkommenden Variablen, so dass die Auswertung der Formel den Wert ``Wahr'' ergibt. SAT ist auf 3SAT reduzierbar, indem man nach folgendem Schema neue Variablen einf"uhrt ($k>3$): \begin{multline*} (x_1 \lor x_2 \lor \ldots x_k) \equiv \\ (x_1 \lor x_2 \lor y_1) \land (x_3\lor \neg y_1 \lor y_2) \land \ldots \land (x_{k-1} \lor x_k \lor \neg y_{k-3}) \end{multline*} Da 3SAT selbst in NP liegt und SAT darauf reduzierbar ist, ist 3SAT NP-vollst"andig. } % ----------------------------------------------------------------------- \problem 3COL:{ \given Ein Graph $G=(V,E)$ \aim Eine Abbildung $f:V\to\{A,B,C\}$, so dass keine zwei benachbarten Knoten die gleiche ``Farbe'' ($A,B,C$) haben. 3SAT ist auf 3COL reduzierbar, indem man nach folgendem Bild die Formel in einen Graphen verwandelt: \input info2_3col.epic Zun"achst baut man eine Konstruktion der Art von (*), um die drei verf"ugbaren Farben an den drei Knoten benennen zu k"onnen. Nennen wir sie hier F,T und A (wie False, True und A). Dann stellen Konstruktionen wie (**) sicher, dass jeweils $x$ und $\overline x$ mit F oder T bzw. umgekehrt gef"arbt werden, indem $x$ und $\overline x$ mit A aus (*) verbunden werden. Zuletzt verunm"oglicht die Konstruktion (***) f"ur jede Klausel die Belegung aller drei Variablen einer Klausel mit F. W"are dies der Fall, w"are die einzige m"ogliche Belegung f"ur die mit T verbundenen Knoten in (***) die Belegung A, womit die F"arbung des darunterliegenden Dreiecks unm"oglich w"urde. 3COL liegt offensichtlich in NP, und da 3SAT polynomial darauf reduziert werden kann, ist 3COL NP-vollst"andig. } % ----------------------------------------------------------------------- \example Weitere NP-vollst"andige Probleme:{ Als weitere NP-vollst"andige Probleme sind bekannt: \begin{itemize} \item Das Problem des Handlungsreisenden \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ Zum tats"achlichen L"osung von NP-vollst"andigen Problemen empfiehlt sich eine der folgenden Vorgehensweisen: \begin{itemize} \item Algorithmus, der nur f"ur bestimmte Eingaben schnell/gut/"uberhaupt funktioniert \item \textbf{\indexthis{Backtracking}} Arbeite solange vorw"arts, bis es nicht mehr weitergeht, geh' dann nur einen Schritt zur"uck (verwirf nicht gleich alles), versuche dort anders zu gehen usw. Eigenschaften: In der Regel drastische Aufwandsreduktion, aber nicht garantiert. Es wird immer eine exakte L"osung gefunden. \item \textbf{\indexthis{Branch and Bound}} Backtracking, das schon aufh"ort, eine Variante zu verfolgen, sobald eine bestimmte Grenze/Bedingung (``boundary'') erreicht ist. Eigenschaften wie Backtracking. \item N"aherungsl"osungen (Beispiel: Handlungsreisender, zun"achst Spannbaum aufstellen, dann mittels DFS Abk"urzungen suchen) \item Probabilistische Algorithmen (z.B. genetische Algorithmen) \item Speziall"osungen f"ur Einzelf"alle \end{itemize} } info2-source/info2_3.tex0000644000175000017500000003353010377450234015177 0ustar andreasandreas% ----------------------------------------------------------------------- \para{Parallelit"at} % ----------------------------------------------------------------------- \definition Zeitaufwand mit mehreren Prozessoren:{ Mit $T(n,p)$ ($p,n\natural)$ bezeichnet man den Aufwand zur L"osung eines gegebenen Problems mit der Eingabegr"o"se $n$, wenn $p$ Prozessoren zur Verf"ugung stehen. (F"ur unterschiedliche $p$ kommen gegebenfalls unterschiedliche Algorithmen zum Einsatz.) } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Speedup:{ Den Speedup $S(n,p)$ (die Beschleunigung) durch die Verwendung von $p$ gegen"uber einem Prozessor definiert man durch folgende Gleichung: \[ S(n,p):=\frac{T(n,1)}{T(n,p)} \] Den Speedup nennt man optimal \index{Speedup>optimaler} $:\equiv$ $S(n,p)=p$. } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Effizienz:{ Die Effizienz $E(n,p)$ eines parallelen Algorithmus gibt die durchschnittliche Auslastung eines Prozessors an: \[ E(n,p):=\frac {S(n,p)} p = \frac{T(n,1)}{pT(n,p)} \] Die Effizienz nennt man optimal \index{Effizienz>optimale} $:\equiv$ $E(n,p)=1$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ In der Regel gilt \[ T(n,p)=X \equiv T(n,p/k)\approx k X \] } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Parallelrechnerarchitekturen:{ Man unterteilt Parallelrechner nach verschieden Kriterien in Klassen, darunter: \begin{description} \item[SISD] Eine Anweisung wird auf ein Datenwort angewendet. \item[MISD] Mehrere Anweisungen werden parallel auf ein Datenwort angewendet. \item[SIMD] Eine Anweisung wird auf parallel auf mehrere Datenworte angewendet. \item[MIMD] Mehrere Anweisungen werden parallel auf mehrere Datenworte angewendet. \end{description} Die bekanntesten Parallelarchitekturen sind: \begin{itemize} \item Mehrkopf-Turing-Maschine \item Schaltkreis \item systolischer/zellul"arer Automat (Transputer, Connection Machine) \item Rechnernetzwerk \item PRAM (parallel random access machine), shared memory machine \end{itemize} Hierunter bilden die PRAMs die wichtigste/h"aufigste Klasse. Hier unterscheidet man noch nach den F"ahigkeiten der Speicherzugriffsarchitektur: \begin{description} \item[EREW] exclusive read exclusive write \item[CREW] concurrent read exclusive write \item[ERCW] exclusive read concurrent write \item[CRCW] concurrent read concurrent write \end{description} Im Falle von concurrent write wird ein Vereinheitlichung bez"uglich des Schreibergebnisses ben"otigt, z.B.: \begin{itemize} \item Es z"ahlt das erste geschriebene Wort \item Es z"ahlt das letzte geschriebene Wort \item Es z"ahlt ein zuf"alliges geschriebenes Wort \item Es z"ahlt das Wort vom Prozessor mit der kleinsten/gr"o"sten Nummer \item Alle geschriebenen Worte m"ussen gleich sein \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------- \subsection{Algorithmen f"ur shared memory machines} % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Parallele Addition:{ \given Zwei bin"are Zahlen mit $n$ Ziffern, $a=a_{n-1}\ldots a_0$, $b=b_{n-1}\ldots b_0$,$u\in\{0,1\}$, $n=2^m$, $m\natural$, eine EREW-Maschine mit $O(n)$ Prozessoren \aim $c=a+b+u=c_n\ldots c_0$ \begin{proc} \item Basisfall: $n\le\text{Maschinenwortl"ange}$ Berechne Ergebnis unmittelbar. \item Sei $k:=n/2$. Berechne parallel rekursiv \begin{align*} l&=a_{n-1}\ldots a_k+b_{n-1}\ldots b_k \\ l'&=a_{n-1}\ldots a_k+b_{n-1}\ldots b_k+1 \\ r&=a_{k-1}\ldots a_0+b_{k-1}\ldots b_0+u \end{align*} \item Setze $v:=$ "Ubertrag bei $r$. \item W"ahle Ergebnis $r$ \[ r:=\begin{cases} lr & v=0 \\ l'r & v=1 \\ \end{cases} \] \end{proc} \cpx $O(\log n)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \definition Statischer Algorithmus:{ \index{Algorithmus>statischer} Ein paralleler Algorithmus hei"st statisch genau dann, wenn die Verteilung der Rechenschritte auf die Prozessoren im Voraus festgelegt ist. } % ----------------------------------------------------------------------- \theorem Satz von Brent: $A$ statischer EREW-Algorithmus, $T(n,p)=O(t)$, $s$ gesamte Anzahl der Rechenschritte => { \label{the:brent} Dann existiert auch ein EREW-Algorithmus $B$ mit einem Aufwand $T(n,s/t)=O(t)$. } % ----------------------------------------------------------------------- \remark:{ \ref{the:brent} l"asst sich folgenderma"sen interpretieren: Wenn der parallele Algorithmus nicht mehr Schritte als der sequentielle macht, dann ist die optimale Effizienz erreichbar. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Maximumsuche I:{ \given: $a_1,\ldots,a_n$ aus einer angeordneten Menge, $n\natural$, CRCW-Maschine mit $n(n-1)/2$ Prozessoren, $n=2^m$, $m\natural$ \aim $\max\{a_1,\ldots,a_n\}$ \begin{proc} \item Belege Variablen $v_1,\ldots,v_n:=1$, $m$ \item Prozessor $(i,j)$: \begin{itemize} \item Sei o.B.d.A $a_ip$. \end{proc} \cpx $O(\log n)$. Indem man in jedem Schritt eine neue Pivotwahl initiiert, kann man die Laufzeit auf $O(\log^2 n/\log \log n)$ senken. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Matrixmultiplikation:{ \given $A=((a_{ij}))$, $B=((b_{ij}))$, $A,B\in\SetR^{n\times n}$, ein Gitter-Netzwerk mit Wrap-Around (Torus) \aim $C=AB=((c_{ij}))$ \begin{proc} \item Belege f"ur jeden Prozessor $P_{ij}$ ein $a'_{ij}:=a_{i,i+j}$ und ein $b'_{ij}:=b_{i+j,j}$ sowie $c_{ij}=0$. ($i=1,\ldots,n$) \item Mache $n$-mal: \begin{itemize} \item Setze f"ur jeden Prozessor $P_{ij}$: $c_{ij}:=c_{ij}+a'_{i,j}\cdot b'_{ij}$ ($i=1,\ldots,n$) \item Schiebe die $((a'_{ij}))$ eine Spalte nach links \item Schiebe die $((b'_{ij}))$ eine Zeile nach oben \end{itemize} \end{proc} \cpx $O(n)$, $E(n,n^2)=O(1)$ } % ----------------------------------------------------------------------- \remark Matrix-Vektor-Produkt:{ Analog kann mit einer Zeile von $n$-Prozessoren ein Matrix-Vektor-Produkt implementiert werden. } % ----------------------------------------------------------------------- \algorithm Minimale Editierdistanz:{ \index{Editierdistanz>Minimale} \given Zwei Zeichenketten $a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n$, $c_i,c_s,c_d$ Kosten der Editierschritte \textit{insert}, \textit{substitute}, \textit{delete}, eine Prozessorenkette mit $2n-1$ Prozessoren \aim Minimale Kostensumme einer Editiersequenz, die $(a_i)$ in $(b_i)$ umformt \begin{proc} \item Bereite zum rechtsseitigen Einschieben vor: $\leftarrow$ $a_1,c_d,a_2,2c_d,\ldots,a_n$ \item Bereite zum linksseitigen Einschieben vor: $b_n,\ldots,2c_i,b_2,c_i,b_1$ $\rightarrow$ \item Setze $c_i:=0$ und $d_i:=0$ f"ur jeden Prozessor ($i=1,\ldots,2n-1$) \item F"ur jeden Prozessor $P_i$ f"uhre $4n$-mal folgenden Schritt durch: \begin{itemize} \item Kommen von links und rechts $a_j$,$b_{n+i-j}$, vergleiche diese, merke $d_i=0$ (gleich) bzw. $d_i=c_s$ (ungleich) und gib $a_j$ nach links, $b_{n+i-j}$ nach rechts weiter \item Kommen von links Editierkosten $f,g$ , so setze $c_i:=\min\{d_i,f,g\}$ und gib $c_i$ nach links und rechts weiter \end{itemize} \item Die Zahl, die auf beiden Seiten nach dem letzten Zeichen die Kette verl"asst, gibt die minimalen Editierkosten an. \end{proc} } info2-source/aufschrieb.tex0000644000175000017500000004517510377450234016063 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- % Various definitions for ``aufschrieb'' package % ----------------------------------------------------------------------------- % (c) iXiONmedia 98/99 ak % ----------------------------------------------------------------------------- \documentclass[titlepage,a4paper,twoside,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \makeindex \def\aufschriebblurb{ Ge\TeX t von Andreas Kl{\"o}ckner (ak@ixion.net). F{\"u}r Kommentare und Berichtigungen bin ich jederzeit dankbar. Neue Versionen gibt es unter \mbox{http://www.ixion.net/ak/aufschrieb}. \vskip0.4cm Copyright (c) 2000 Andreas Kl\"ockner. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, with the Front-Cover Texts being the first two paragraphs of this title page, and with no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled ``GNU Free Documentation License''. } \def\aufschriebbody#1#2{ \pagestyle{fancy} \lhead[\thepage]{\leftmark} \rhead[]{\thepage} \def\headrulewidth{0.4pt} \cfoot{} \tableofcontents \newpage #1 \appendix #2 \section{GNU Free Documentation License} {\tiny Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other written document ``free'' in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others. This License is a kind of ``copyleft'', which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software. We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as ``you''. A ``Modified Version'' of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language. A ``Secondary Section'' is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The ``Invariant Sections'' are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. The ``Cover Texts'' are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A ``Transparent'' copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. A copy that is not ``Transparent'' is called ``Opaque''. Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML produced by some word processors for output purposes only. The ``Title Page'' means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, ``Title Page'' means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. 3. COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies of the Document numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. D. Preserve all the copyright notices of the Document. E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. H. Include an unaltered copy of this License. I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. } \printindex } info2-source/blatt.tex0000644000175000017500000000215110377450234015041 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,a4paper,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \hoffset -1in \voffset -1in \textwidth 470pt \textheight 700pt \headwidth 470pt \include{math} \newenvironment{blatt}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{\"Ubungsblatt #2 im Fach #1 $\cdot$ Andreas Kl\"ockner $\cdot$ 992330 } \begin{minipage}{8cm} {\Large\bfseries #1 } \"Ubungsblatt #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl\"ockner \\ Matr: 992330 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } \newcounter{aufgabe} \newenvironment{aufgabe}{ {\bfseries Aufgabe \arabic{aufgabe}.}\par \addtocounter{aufgabe}{1} }{\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{teilnr} \newenvironment{teile}{ \begin{list}{\alph{teilnr})}{\usecounter{teilnr}} }{ \end{list} } \def\dieskipich{\addtocounter{aufgabe}{1}}info2-source/homework.tex0000644000175000017500000000225510377450234015573 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,fleqn]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{epsfig} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \textwidth 470pt \headwidth 470pt \textheight 9in \hoffset -0.8in \voffset-0.3in \include{math} \newenvironment{homework}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{Homework #2 for #1 $\cdot$ Andreas Kl{\"o}ckner $\cdot$ 999044514 } \begin{minipage}{10cm} {\Large\bfseries #1 } Homework #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl{\"o}ckner \\ SID: 999044514 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } \newenvironment{exercise*}[1] {{\bfseries Exercise #1.}\par} {\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{exercise} \newenvironment{exercise} {\begin{exercise*}{\arabic{exercise}} \addtocounter{exercise}{1}} {\end{exercise*}} \newcounter{partno} \newenvironment{parts}{ \begin{list}{\alph{partno})}{\usecounter{partno}} }{ \end{list} } \def\skipthisone{\addtocounter{exercise}{1}}info2-source/macros.tex0000644000175000017500000002033410377450234015222 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- % Various helpful definitions % ----------------------------------------------------------------------------- % (c) iXiONmedia 98/99 ak % ----------------------------------------------------------------------------- \usepackage{ifthen} \usepackage{color} \nonstopmode \parindent=0pt \raggedbottom \parskip=\medskipamount \makeatletter % Register definitions -------------------------------------------------------- \newcounter{nochap} \newcounter{notheorem} \newcounter{nodefinition} \newcounter{stmtid} \newboolean{annotate} \newboolean{prove} \setboolean{annotate}{true} \setboolean{prove}{true} % Abbreviations --------------------------------------------------------------- \let\phi=\varphi \let\epsilon=\varepsilon \let\rho=\varrho \let\theta=\vartheta \def\stack(#1;#2){\genfrac{.}{.}{0pt}{}{\scriptstyle #1}{\scriptstyle #2}} \def\tstack(#1;#2){$\stack(\text{#1};\text{#2})$} \def\arcsinh{\operatorname{arcsinh}} \def\arccosh{\operatorname{arccosh}} \def\arccot{\operatorname{arccot}} \def\id{\operatorname{id}} \def\det{\operatorname{det}} \def\grad{\operatorname{grad}} \def\rot{\operatorname{rot}} \def\exp{\operatorname{exp}} \def\rank{\operatorname{rank}} \def\Spur{\operatorname{Spur}} \def\Kern{\operatorname{Ker}} \def\Bild{\operatorname{Bild}} \def\sinc{\operatorname{sinc}} \def\DFT{\operatorname{DFT}} \def\ord{\operatorname{ord}} \def\ggT{\operatorname{ggT}} \def\kgV{\operatorname{kgV}} \def\degree#1{\operatorname{deg} #1} \def\FT{\mathcal{F}} \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} % Import from T. Dussa: Info 3 Skript ----------------------------------------- \def\GL{\operatorname{GL}} \def\Aut{\operatorname{Aut}} \def\bij{\operatorname{bij.}} \def\rg{\operatorname{rg}} \def\diag{\operatorname{diag}} \def\kopf{\operatorname{kopf}} \def\first{\operatorname{first}} \def\follow{\operatorname{follow}} \def\Anf{\operatorname{Anf}} \def\SLL{\operatorname{SLL}} \def\LL{\operatorname{LL}} \def\SLR{\operatorname{SLR}} \def\LR{\operatorname{LR}} \def\LK{\operatorname{LK}} \def\korrekt{\operatorname{korrekt}} \def\kompakt{\operatorname{kompakt}} \def\halt{\operatorname{halt}} \def\total{\operatorname{total}} \def\Quad{\operatorname{quad}} \def\anw{\operatorname{anw}} \def\naechste{\operatorname{naechste}} \def\Dom{\operatorname{Dom}} \def\injto{\hookrightarrow} \def\surto{\twoheadrightarrow} \def\bijto{\overset{\sim}{\longrightarrow}} \def\ot{\gets} \def\NP{\textit{NP}} \def\SAT{\textit{SAT}} % End of import from T. Dussa: Info 3 Skript ---------------------------------- \def\SetN{\mathbb N} \def\SetZ{\mathbb Z} \def\SetQ{\mathbb Q} \def\SetR{\mathbb R} \def\SetC{\mathbb C} \def\limes#1->#2{\lim\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limesinf#1->#2{\liminf\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limessup#1->#2{\limsup\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limn{\limes n->\infty} \def\liminfn{\limesinf n->\infty} \def\limsupn{\limessup n->\infty} \def\sumn#1{\sum_{n=#1}^\infty} \def\limx#1{\limes x->{#1}} \def\fsum{{\sum\nolimits'}} \def\norm#1{{\left\| #1\right\|}} \def\fnorm#1{{\left|\left|\left|#1\right|\right|\right|}} \def\product#1{{\left\langle#1\right\rangle}} \def\iprod#1#2{{\left\langle #1,#2 \right\rangle}} \def\rim#1{\partial{#1}} \def\inner#1{{#1}^\circ} \def\closure#1{\overline{#1}} \def\qed{\hfill$\Box$} \long\def\ifnotempty#1#2{{% \setbox9=\hbox{#1}% \ifdim\wd9>1pt #2\fi% }} \def\insertpic#1{ \begin{center}\input #1.epic \end{center} } \def\insertfig#1{ \begin{center}\input #1.pstex_t \end{center} } \def\indexthis#1{\index{#1}#1} \def\lint{\mathchoice {\rlap{\hskip0.2em$\underline{\phantom{A}}$}} {\rlap{\hskip0.1em$\underline{\phantom{\scriptstyle A}}$}} {OH-SORRY.} {OH-SORRY.} \int } \def\uint{\mathchoice {\rlap{\hskip0.5em$\overline{\phantom{A}}$}} {\rlap{\hskip0.2em$\overline{\phantom{\scriptstyle A}}$}} {OH-SORRY.} {OH-SORRY.} \int } % sections and numbering ------------------------------------------------------ \def\resetcounters{ \setcounter{notheorem}{0} \setcounter{nodefinition}{0} } \def\para#1{ \section{#1} \resetcounters } \def\thepara{\thesection} % special frames -------------------------------------------------------------- \long\def\mathtitle#1#2{ \pagestyle{fancy} \def\headrulewidth{0pt} \cfoot{} { \vskip5cm \hrule height 1pt width 17 cm \vskip0.5mm \hrule height 0.25pt width 17 cm \vskip.25cm {\Huge \bfseries\hfill #1}\\ \hrule height 0.25pt width 17 cm \vskip0.5mm \hrule height 1pt width 17 cm \vskip 2cm \hfill\begin{minipage}{8cm} #2 \end{minipage} } \newpage } \def\framedmsg#1{ \hrule height 0.25pt \hfil #1\hfil\break \hrule height 0.25pt } % mathpar ---------------------------------------------------------------- % #1 Heading % #2 Caption % #3 Text \definecolor{mathgray}{gray}{0.8} \definecolor{mathbgray}{gray}{0.9} \newlength{\ix@temp@boxwidth} \newlength{\ix@temp@boxwidtha} \hbadness 11000 \long\def\mathpar#1#2#3{ \settowidth{\ix@temp@boxwidth}{\strut\sffamily #1}% \setlength{\ix@temp@boxwidtha}{\textwidth}% \addtolength{\ix@temp@boxwidtha}{-\ix@temp@boxwidth}% \addtolength{\ix@temp@boxwidtha}{-12pt}% \colorbox{mathgray}{\strut\sffamily #1}% \colorbox{mathbgray}{\strut\makebox[\ix@temp@boxwidtha][l]{\sffamily #2}}% {\protected@edef\@currentlabel{#1} \nobreak\par\nobreak #3\par\vspace{5pt} } } % convention ------------------------------------------------------------------ % #1 Text \long\def\convention#1{ \mathpar{Konvention f{\"u}r Kapitel \thepara}{}{#1} } % simple mathpars ------------------------------------------------------------- % #1 Name % #2 Text \long\def\trick#1:#2{ \mathpar{Trick}{#1}{#2} } \long\def\remark#1:#2{ \mathpar{Bemerkung}{#1}{#2} } \long\def\deduction#1:#2{ \mathpar{Herleitung}{#1}{#2} } \long\def\example#1:#2{ \mathpar{Beispiel}{#1}{#2} } \long\def\problem#1:#2{ \mathpar{Problem}{#1}{#2} } \long\def\auxiliary#1:#2{ \mathpar{Hilfsmittel}{#1}{#2} } \long\def\motivation#1:#2{ \mathpar{Motivation}{#1}{#2} } \long\def\proof#1:#2{ \ifprove \mathpar{Beweis zu #1}{}{#2} \fi } \long\def\annotation#1:#2{ \ifannotate \mathpar{Anmerkung zu #1}{}{#2} \fi } % algorithm ------------------------------------------------------------------- % #1 Name % #2 Text \long\def\algorithm#1:#2{ \ifnotempty{#1}{ \index{#1} } \mathpar{Algorithmus}{#1}{#2} } % definition ------------------------------------------------------------------ % #1 Name % #2 Text \long\def\definition#1:#2{ \addtocounter{nodefinition}{1} \ifnotempty{#1}{ \index{#1} \index{[Def~\thepara.\thenodefinition] #1} } \mathpar{Definition \thepara.\thenodefinition}{#1}{#2} } \long\def\lesserdefinition#1:#2{ \ifnotempty{#1}{ \index{#1} } \mathpar{Definition}{#1}{#2} } % theorem / lemma ------------------------------------------------------------- % #1 Name % #2 Prerequisites % #3 Claim \newlength{\preconlabelwidth} \setlength{\preconlabelwidth}{2.5cm} \newlength{\preconwidth} \setlength{\preconwidth}{\textwidth} \addtolength{\preconwidth}{-\preconlabelwidth} \def\precondition#1{ \ifnotempty{#1}{ \parbox[t]{\preconlabelwidth}{\emph{Voraussetzung:}} \begin{minipage}[t]{\preconwidth}#1\end{minipage} }\par\nobreak% } \long\def\theorem#1:#2=>#3{ \addtocounter{notheorem}{1} \ifnotempty{#1}{ \index{#1} \index{[Satz~\thepara.\thenotheorem] #1} } \mathpar{Satz \thepara.\thenotheorem}{#1}{ \precondition{#2} #3 } } \long\def\lemma#1:#2=>#3{ \addtocounter{notheorem}{1} \ifnotempty{#1}{ \index{#1} \index{[Lemma ~\thepara.\thenotheorem] #1} } 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\newcounter{aufgabe} \newenvironment{aufgabe}{ {\bfseries Aufgabe \arabic{aufgabe}.}\par \addtocounter{aufgabe}{1} }{\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{teilnr} \newenvironment{teile}{ \begin{list}{\alph{teilnr})}{\usecounter{teilnr}} }{ \end{list} } \def\dieskipich{\addtocounter{aufgabe}{1}}info2-source/german.sty0000644000175000017500000000032510377450234015224 0ustar andreasandreasquote '!' level '>' headings_flag 1 preamble "\\begin{theindex}\n\\footnotesize" heading_prefix "{\\large\\bfseries " heading_suffix "}\\par\\nobreak\\medskip\\nobreak" symhead_positive "S\"atze und Definitionen" info2-source/info3.bib0000644000175000017500000000657310377450234014721 0ustar andreasandreas%%% % info3.bib % Mitschrieb Informatik III, Bibliographie %%% @BOOK{sedgewick, author = "Robert Sedgewick", title = "Algorithmen in C++", publisher = "Addison-Wesley (Deutschland) GmbH", edition = "1", year = "1992" } @BOOK{TeXbook, author = "Donald Ervin Knuth", title = "Computers and Typesetting A: The \TeX book", publisher = "American Mathematical Society und Addison-Wesley Publishing Company", edition = "11", year = "1991" } @BOOK{aho, author = "Alfred V. Aho and Jeffrey D. Ullman", title = "Informatik --- Datenstrukturen und Konzepte der Abstraktion", publisher = "International Thomson Publishing GmbH", edition = "1", year = "1996" } @BOOK{knuth1, author = "Donald Ervin Knuth", title = "The Art of Computer Programming --- Volume I: Fundamental Algorithms", publisher = "Addison Wesley Longman", edition = "3", year = "1997" } @BOOK{knuth2, author = "Donald Ervin Knuth", title = "The Art of Computer Programming --- Volume II: Seminumerical Algorithms", publisher = "Addison Wesley Longman", edition = "3", year = "1997" } @BOOK{kopka, author = "Helmut Kopka", title = "\LaTeX: Eine Einf"uhrung Band 1", publisher = "Addison-Wesley (Deutschland) GmbH", edition = "1", year = "1994" } @BOOK{companion, author = "Michel Goossens and Frank Mittelbach and Alexander Samarin", title = "Der \LaTeX-Begleiter", publisher = "Addison-Wesley (Deutschland) GmbH", edition = "1", year = "1994" } @BOOK{manber, author = "Udi Manber", title = "Introduction to Algorithms --- A Creative Approach", publisher = "Addison Wesley Longman", edition = "1", year = "1996" } @BOOK{unixNutshell, author = "Daniel Gilly", title = "UNIX in a Nutshell", publisher = "O'Reilly/International Thomson Verlag GmbH \& Co KG", edition = "1", year = "1995" } @BOOK{illuminatus, author = "Robert J. Shea and Robert Anton Wilson", title = "The Illuminatus! Trilogy", publisher = "Dell Publishing", edition = "2", year = "1988" } @BOOK{geb, author = "Douglas R. Hofstadter", title = "G"odel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid", publisher = "Vintage Books", year = "1980" } @BOOK{thhgttg, author = "Douglas Adams", title = "The More Than Complete Hitchhiker's Guide to the Galaxy --- Complete and Unabridged", publisher = "Longmeadow Press", year = "1991" } @BOOK{thhgttgMostlyHarmless, author = "Douglas Adams", title = "Mostly Harmless", publisher = "Pan Books", year = "1993" } @BOOK{bronstein, author = "Il'ja Nikolaevi\v{c} Bron\v{s}tejn and Konstantin Adol'fovi\v{c} Semendjaev", editors = "Doz. Dr. G. Grosche and Dr. V. Ziegler and D. Ziegler", title = "Taschenbuch der Mathematik", publisher = "Verlag Harri Deutsch", edition = "21", year = "1984" } @BOOK{bronsteinZusatz, author = "Il'ja Nikolaevi\v{c} Bron\v{s}tejn and Konstantin Adol'fovi\v{c} Semendjaev", editors = "Doz. Dr. G. Grosche and Dr. V. Ziegler and D. Ziegler", title = "Taschenbuch der Mathematik: Erg"anzende Kapitel", publisher = "Verlag Harri Deutsch", edition = "4", year = "1986" } @BOOK{randAlgo, author = "Motwani and Raghawan", title = "Randomized Algorithms", publisher = "Springer-Verlag", year = "1995" } info2-source/README0000644000175000017500000000345310377450234014077 0ustar andreasandreas(C) 2000 Andreas Kloeckner (ak@ixion.net) http://www.ixion.net/ak/aufschrieb ------------------------------------------------------------------------------- Einkaufszettel ------------------------------------------------------------------------------- Die folgenden Programme sind erforderlich: * LaTeX2e (mit AMSLaTeX, Babel und FancyHeaders) * makeindex>=2.13 * dvips ------------------------------------------------------------------------------- Installation auf Unix ------------------------------------------------------------------------------- Alles in ein Verzeichnis untar'en, Make-Kommando eintippen, warten, fertig. Das Makefile ist darauf eingerichtet, alle Teile (I/II/III...) in einem Verzeichnis zu halten und gleichzeitig zu bauen. Es unterstuetzt die folgenden Targets: (Ersetze durch "info", "ana" etc.) make clean Distributionsverzeichnis von abhaengigen Dateien saeubern make mrproper _WIRKLICH_ sauber machen (loescht auch Editor-Backups) make setup Distributionsverzeichnis vorbereiten (erforderlich nach Neuinstallation, clean oder mrproper) make (all|1.dvi|2.dvi|...) als DVI bauen make (allps|.ps|.dvi|...) als Postscript bauen make distribution Tarballs zur Ueberspielung auf den Server erzeugen ------------------------------------------------------------------------------- Installation auf DOS/Windows ------------------------------------------------------------------------------- C:\> latex 1/2/... C:\> makeidx 1/2/... -g -s german.sty C:\> latex 1/2/... C:\> 1/2/... ------------------------------------------------------------------------------- Lizenz ------------------------------------------------------------------------------- GNU Free Documentation License. Siehe COPYING. info2-source/COPYING0000644000175000017500000004327510377450234014260 0ustar andreasandreas GNU Free Documentation License Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other written document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others. This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software. We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language. A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque". Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML produced by some word processors for output purposes only. The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. 3. COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies of the Document numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. D. Preserve all the copyright notices of the Document. E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. H. Include an unaltered copy of this License. I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. ADDENDUM: How to use this License for your documents To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page: Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License". If you have no Invariant Sections, write "with no Invariant Sections" instead of saying which ones are invariant. If you have no Front-Cover Texts, write "no Front-Cover Texts" instead of "Front-Cover Texts being LIST"; likewise for Back-Cover Texts. If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software. info2-source/Makefile0000644000175000017500000000104110377450234014646 0ustar andreasandreas.PHONY: setup distribution all clean mrproper psall all: info1.pdf info2.pdf info3.pdf distribution: info1.dist.tar info2.dist.tar info3.dist.tar source: info1-source.tar.gz info2-source.tar.gz info3-source.tar.gz setup: if [ -f info1.tex ]; then latex info1; fi if [ -f info2.tex ]; then latex info2; fi if [ -f info3.tex ]; then latex info3; fi info1.dvi: info1.tex latex info1 info2.dvi: info2.tex info2_*.tex info2.ind latex info2 info3.dvi: info3.tex info3_*.tex info3.ind latex info3 dist_add=info3.bib include make.rules info2-source/make.rules0000644000175000017500000000315010377450234015202 0ustar andreasandreasifndef dist_add dist_add= endif ifndef 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