info3-source/0000755000175000017500000000000010377450234013213 5ustar andreasandreasinfo3-source/info3.tex0000644000175000017500000000253510377450234014760 0ustar andreasandreas% ----------------------------------------------------------------------------- % Informatik 3 Aufschrieb % ----------------------------------------------------------------------------- % Tobias Dussa, Andreas Kloeckner / WS99 % ----------------------------------------------------------------------------- \input aufschrieb \input math \usepackage{epic} \usepackage{eepic} \usepackage{ecltree} \usepackage{tabularx} \usepackage{hyperref} \def\cpx{\textit{Aufwand}: } \def\given{\textit{Gegeben}: } \def\aim{\textit{Gesucht}: } \newenvironment{proc}{\textit{Ablauf}:\begin{itemize}}{\end{itemize}} \newtheorem{defi}{Definition}[subsection] \newtheorem{satz}{Satz}[subsection] \begin{document} \mathtitle{Informatik III}{ Ein Aufschrieb der Vorlesung \emph{Informatik III} an der Uni Karlsruhe in den Wintersemestern 1997/98 bzw. 1999/00, gelesen von Prof.~Dr.~H. Prautzsch. \vskip0.4cm Ge\TeX t von Tobias Dussa (s\_dussa@ira.uka.de), "uberarbeitet von Andreas Kl"ockner (ak@ixion.net). Kommentare und Berichtigungen gehen an eine dieser Adressen. \vskip0.4cm Dieses Dokument untersteht der ``Weiss nicht''-Lizenz. Neue Versionen gibt es unter http://www.ixion.net/ak/aufschrieb. \vskip0.4cm \LaTeX-Lauf am \today. } %\nocite{*} %\bibliographystyle{geralpha} %\bibliography{info3} \aufschriebbody{ \input info3_1 }{ } \end{document} info3-source/info3_1.tex0000644000175000017500000024006110377450234015176 0ustar andreasandreas\def\To{ERROR} % -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- \part{Formale Sprachen} % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Grammatiken und Sprachen} % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Grundbegriffe} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Alphabet:{ Ein Alphabet ist eine endliche nichtleere Menge $V$ von \indexthis{Zeichen}. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Wort:{ Ein Wort oder eine \indexthis{Zeichenkette} $w$ "uber einem Alphabet $V$ ist eine geordnete Menge $w=a_1\ldots a_n$ mit $a_i\in V$. Worte werden gemeinhin mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Die Menge aller Zeichenketten schreibt man $V^*$, die Menge aller nichtleeren Zeichenketten $V^+:=V^*\setminus \{\lambda\}$. Ein Wort $v$ ist genau dann ein \indexthis{Teilwort} des Wortes $w$, wenn es $b,c\in V^*$ gibt mit $w = bvc$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Sprache:{ Eine Sprache $L$ ist eine Teilmenge $L\subseteq V^*$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Sprache und Alphabet:{ Eine Sprache "uber dem Alphabet $V := \{0,1\}$ ist z.B. $L:=\{0^n\mid n\nnatural\}$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Produktion:{ Eine Produktion oder \indexthis{Ersetzungsregel} ist ein Zweitupel $(\alpha, \beta) \in V^* \times V^*$, auch geschrieben $\alpha \to \beta$. Ein \indexthis{Ersetzungssystem} oder \indexthis{Semi-Thue-System} $(V,P)$ ist ein geordnetes Paar, bestehend aus einem Alphabet $V$ und einer Produktionsmenge $P$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Ableitung:{ Seien nun $x, y \in V^*$. $y$ hei"st direkt ableitbar aus $x$ (Schreibweise: $x\dderivable y$) $:\equiv$ \[(\exists (\alpha, \beta) \in P)(\exists u, v \in V^*)(x = u \alpha v \land y = u \beta v) \] $y$ hei"st (indirekt) ableitbar aus $x$ (Schreibweise: $x\derivable y$) $:\equiv$ \[(\exists x_1,\ldots,x_n\in V^*)(x\dderivable x_1 \dderivable \cdots \dderivable x_n \dderivable y) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Das Problem festzustellen, ob $x \derivable y$ f"ur gegebene $x,y$ gilt, ist im allgemeinen unentscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Grammatiken} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Grammatik:{ Ein Viertupel $G=(V,T,S,P)$ mit den Alphabeten $V$ und $T$ sowie dem Startsymbol $S$ und der Produktionsmenge $P$ hei"st eine Grammatik, falls gilt \begin{stmts} \item $V\cap T=\emptyset$ \item $S\in V$ \item $|P|<\infty$ und f"ur $P$ gilt \[(\forall p=u\to v \in P)(u,v\in(V\cup T)^+, u\cap V\ne\emptyset) \] \end{stmts} $T$ hei"st das \indexthis{Terminalalphabet}, $V$ das \indexthis{Variablenalphabet} oder \indexthis{Nichtterminalalphabet}. Ein beliebiges Element $q \in T$ hei"st \indexthis{Terminalzeichen}, ein beliebiges Element $r \in V$ hei"st \indexthis{Variable} oder \indexthis{Nichtterminal}. Sei nun $G=(V,T,S,P)$ eine Grammatik. Dann ist $L(G)$ die von $G$ erzeugte Sprache, definiert durch \[L(G):=\{w\in T^*\mid S \derivable w\} \] Worte \index{Wort} "uber Grammatiken sind Elemente aus $T^*$, w"ahrend f"ur eine \indexthis{Satzform} $u$ "uber $G$ ein $u\in(V\cup T)^*$ gilt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Grammatik:{ Sei $V=\{S,A,B\}$ und $T=\{0,1\}$. Die Menge $P$ der Produktionen sei \[P:=\{S \to 0B | 1A,A\to 0 | 0S | 1AA,B \to 1 | 1S | 0BB\} \] Dann gilt \[L(G)=\{w \in \{0, 1\}^+\mid\text{Anzahl der Nullen gleich Anzahl der Einsen}\} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition "Aquivalenz von Grammatiken:{ \index{Grammatik>"Aquivalenz von} Offensichtlich kann man f"ur ein- und dieselbe Sprache mehrere Grammatiken angeben. Zwei Grammatiken $G_1,G_2$ hei"sen "aquivalent $:\equiv$ $L(G_1)=L(G_2)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Die Chomsky-Hierarchie} \label{sub:chomsky} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Chomsky-Klasse:{ Sei $G=(V,T,S,P)$ eine Grammatik. Dann hei"st $G$ \begin{itemize} \item kontextsensitiv \index{Grammatik>kontextsensitive} $:\equiv$ die Produktionen haben die Form \begin{itemize} \item $yAz \to ywz$ mit $A\in V,w\ne\lambda,y,w,z\in(V\cup T)^*$ \item $S\to\lambda$, aber nur, wenn $S$ auf keiner rechten Seite einer Produktionsregel vorkommt. \end{itemize} Dieser Grammatiktyp zeichnet sich dadurch aus, da"s Worte niemals k"urzer werden (au"ser bei der trivialen Produktionsregel). \item kontextfrei \index{Grammatik>kontextfreie} $:\equiv$ die Produktionen haben die Form $A\to w$ mit $A\in V,w\in(V\cup T)^*$. \item rechtslinear \index{Grammatik>rechtslineare} $:\equiv$ die Produktionen haben die Form \begin{itemize} \item $A \to bC$ mit $A,C\in V,b\in T$ \item $A \to C$ mit $A,C\in V$ \end{itemize} Die Linkslinearit"at wird analog definiert. \end{itemize} Einer Grammatik wird nun auch eine Typnummer zugeordnet: $G$ ist vom Typ \begin{itemize} \item 0 $:\equiv$ die Produktionen sind beliebig \item 1 $:\equiv$ sie ist kontextsensitiv (kts) \item 2 $:\equiv$ sie ist kontextfrei (ktf) \item 3 $:\equiv$ sie ist rechts- oder linkslinear \end{itemize} Sei $L_i$ die Klasse aller Grammatiken des Typs $i$. Dann gilt: \[L_0 \supsetneqq L_1 \supsetneqq L_2 \supsetneqq L_3 \] Eine Sprache hei"st vom Typ $i$ $:\equiv$ sie wird durch eine Grammatik des Typs $i$ erzeugt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Abgeschlossenheit} \label{sub:complete} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Operationen auf Sprachen:{ Seien $L, M$ Sprachen "uber $V$. Dann definiert man \begin{itemize} \item \indexthis{Vereinigung}: $L\cup M$ auf naheliegende Art und Weise. \item \indexthis{Schnitt}: $L\cap M$ auf naheliegende Art und Weise. \item \indexthis{Konkatenation}: $L\cdot M:=LM:=\{\alpha\beta\mid\alpha\in L,\beta\in M\}$ Daher auch $L^0:=\{\lambda\}$, $L^i:=L^{i-1}\cdot L$. \item \indexthis{Sternoperation}: $L^*:=\{\alpha_1\cdots\alpha_n\mid \alpha_i\in L,i,n\nnatural\}$, deswegen auch $L^* = \bigcup_{n \geq 0} L^n$ \item \indexthis{Komplement}: $L^c:=T^*\setminus L$ \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Abgeschlossenheit:=>{ \label{the:complete} Die Mengen $L_i$ sind abgeschlossen bez"uglich der Operationen $\cup, \cdot, *$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:complete}:{ Seien $G_1=(V_1,T,S_1,P_1),G_2:=(V_2,T,S_2,P_2)$ Grammatiken vom Typ $i$. Setze $L_j:=L(G_j)$ f"ur $j=1,2$. O.B.d.A. gelte $V_1\cap V_2=\emptyset$. \begin{description} \item[Vereinigung] Setze $P:=\{S\to S_1|S_2\}\cup P_1\cup P_2$, $V:=V_1\cup V_2$. Dann gilt $L(G)=L_1\cup L_2$ mit $G:=(V,T,S,P)$. \item[Konkatenation ($i\ne 3$)] Ein Ansatz der Art $P:=\{S \to S_1S_2\}\cup P_1\cup P_2$ ist nicht ausreichend, da auf dem Wege "uber das identische Terminalalphabet Produktionen aus $P_1$ auf Teilworte angewandt werden k"onnten, die eigentlich aus $L_2$ ``stammen''. Daher legen wir zwei verschiedene Kopien $T_1, T_2$ des Terminalalphabets $T$ als Variablenalphabete an. Die Produktionen m"ussen nat"urlich ebenfalls entsprechend angepasst werden. So seien $Q_i$ die Produktionenmengen nach den erforderlichen Umbenennungen, erg"anzt um Produktionen, die aus den M"ochtegern-Terminalen in $T_i$ wieder echte Terminale machen. Seien weiter $P:=\{S\to S_1S_2\}\cup Q_1\cup Q_2$ sowie $V:=V_1\cup V_2\cup T_1\cup T_2\cup\{S\}$. Dann ist $G:=(V,T,S,P)$ wieder vom Typ $i$ und $L(G) = L_1L_2$. \item[Konkatenation ($i=3$)] Wir nehmen an, die Grammatik sei o.B.d.A. rechtslinear. Dann setzen wir $P:=P_1\cup\{A\to bS_2\mid A\to b\in P_1\}\cup P_2$. Dann ist $G:=(V,T,S_1,P)$ rechtslinear und $L(G)=L_1\cdot L_2$. \item[Sternoperation ($i\ne 3$)] Definiere \[P:=P_1\cup\{S\to\lambda|S_1|S_1S_1|S_1S_2S_1,S_2\to S_2S_1S_2\} \] *** FIXME H"a? dabei sind $G_1=G_2$, daher $S_1=S_2$. Dann ist $G:=(V_1\cup\{S\},T,S,P)$ wieder vom gleichen Typ wie $G_1=G_2$ und $L(G)=L_1^*$. \item[Sternoperation ($i = 3$)] Die Grammatik sei o.B.d.A. rechtslinear. Setze \[P:=P_1\cup\{S_1\to\lambda\}\cup\{A\to bS_1\mid A\to b \in P_1\} \] so ist $G:=(V_1,T,S_1,P)$ rechtslinear und $L(G)=L_1^*$.\qed \end{description} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ Rechtslineare Sprachen sind abgeschlossen bez"uglich der Komplement- und Durchschnittbildung. (Beweis sp"ater) } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Regul"are Sprachen} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Regul"are Sprache:{ Rechts- oder linkslineare Sprachen werden als regul"are Sprachen bezeichnet. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Finite Akzeptoren} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Deterministischer finiter Akzeptor:{ \index{DFA}% \index{Akzeptor>deterministischer finiter}% \index{Finiter Akzeptor>deterministischer}% \index{Deterministischer finiter Automat}% \index{Automat>deterministischer finiter}% \index{Finiter Automat>deterministischer}% Ein deterministischer finiter Akzeptor/Automat (DFA) $M$ ist ein Quintupel $M=(X,Q,\delta,q_0,F)$ mit dem Eingabealphabet $X$, der Zustandsmenge $Q$, der Zustands"ubergangsfunktion $\delta:Q\times X\to Q$, dem Anfangszustand $q_0\in Q$ und der Endzustandsmenge $F$. Man definiert rekursiv eine mehrstufige "Ubergangsfunktion $\delta^*:Q\times X^*\to Q$ mit $\delta^*(q,\lambda):=q$ und $\delta^*(q,wx):=\delta(\delta^*(q, w),x)$. Die von einem Automaten $M$ akzeptierte Sprache \[L(M):=\{w\in X^*\mid\delta^*(q_0, w)\in F\} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Ein einfacher Automat:{ \input info3_dfa_simple.epic Hierbei ist $Q := \{q_0, q_1\}$, $X := \{0, 1\}$ sowie $F := \{q_0\}$. Die Zustands"ubergangstabelle lautet \[\begin{array}{c|cc} \delta & 0 & 1 \\\hline q_0 & q_1 & q_1 \\ q_1 & q_1 & q_0 \end{array}\] Die von diesem Automaten akzeptierte Sprache ist $L = ((0 + 1)0^*1)^*$. (Notation siehe \ref{def:regex}.) } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $M=(X,Q,\delta,q_0,F)$ DFA=>{ \label{the:dfa-linear} Dann ist $L(M)$ rechtslinear. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:dfa-linear}:{ Wir legen einfach die Funktionsweise eines Automaten in Form von Produktionen dar. Setze \begin{multline*} P:=\{q\to xq'\mid\delta(q, x)=q',q,q'\in Q,x\in X\}\cup \\ \{q\to x\mid\delta(q, x)\in F,q\in Q,x\in X\} \end{multline*} Dann ist $G:=(Q,X,q_0,P)$ rechtslinear. \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Nichtdeterministischer finiter Akzeptor:{ \index{NFA}% \index{Akzeptor>nichtdeterministischer finiter}% \index{Finiter Akzeptor>nichtdeterministischer}% \index{Nichtdeterministischer finiter Automat}% \index{Automat>nichtdeterministischer finiter}% \index{Finiter Automat>nicht deterministischer}% Ein Quintupel $M=(X,Q,\delta,q_0,F)$ hei"st ein nichtdeterministischer finiter Akzeptor (NFA) $:\equiv$ $X, Q, q, F$ sind wie bei einem DFA und die Zustands"ubergangsfunktion ist $\delta:Q\times X\to \cal P(Q)$. Rekursiv definiert man wieder $\delta^*:Q\times X^*\to \cal P(Q)$ mit $\delta^*(q,\lambda):=\{q\}$ und $\delta^*(q,wx):=\delta(\delta^*(q, w),x)$. (Beachte: Ergebnis von $\delta^*$ in vorigem Ausdruck ist bereits eine Menge!) Die von $M$ akzekptiere Sprache ist \[L(M):= \{w\in X^*\mid\delta^*(q_0, w)\cap F\ne\emptyset\} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Ein einfacher NFA:{ \input info3_nfa_simple.epic Die zugeh"orige Grammatik ist rechtslinear: \begin{align*} q_0 &\to aq_0 | aq_1 | bq_2 | b\\ q_1 &\to bq_2 | b\\ q_2 &\to aq_2 | a \end{align*} } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $L$ rechtslinear=>{ Dann existiert ein NFA $M$ mit $L(M)=L$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:$M=(X,Q,\delta,q_0,F)$ NFA=>{ \label{the:nfa-dfa} Es existiert ein DFA $M'$ mit $L(M) = L(M')$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof\ref{the:nfa-dfa}:{ Man definiert schlicht \[M':=(X, \cal P(Q),\delta',\{q_0\},F') \] mit \[\delta'(\{q_1,\ldots,q_n\},x):=\delta(q_1, x)\cup\ldots\cup\delta(q_n,x) \] und $F':=\{p\in\cal P(Q)\mid p\cap F\ne\emptyset\}$. Dieser Automat ist ein DFA und erkennt dieselbe Sprache wie $M$.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Umwandlung NFA $\to$ DFA:{ Wir geben zun"achst einen NFA $M$ an: \input info3_convert_nfa.epic Die Zustands"ubergangstabelle f"ur diesen NFA lautet wie folgt: \[\begin{array}{l} p_0 := \{q_0\}\\ p_1 := \{q_1, q_2\}\\ p_2 := \{q_0, q_1, q_2\}\\ p_3 := \emptyset \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc} \delta' & p_0 & p_1 & p_2 \\\hline a & p_1 & p_2 & p_2 \\ b & p_3 & p_1 & p_1 \end{array} \] Ein zugeh"origer DFA $M'$ ist also \input info3_convert_dfa.epic } % ----------------------------------------------------------------------------- \corollary: $L$ rechtslineare Sprache=>{ Es existiert ein DFA $M$ mit $L(M)=L$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Das Pumping-Lemma} % ----------------------------------------------------------------------------- \lemma Pumping-Lemma: $M=(X,Q,\delta,q_0,F)$ DFA, $|Q|=n$=>{ \label{the:pumping-lemma-dfa} Dann gilt f"ur alle $z\in L(M)$ mit $|z|>n$ \[(\exists u,v,w\in T^*)(z=uvw,v\ne\lambda,uv^*w\in L(M)) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:pumping-lemma-dfa}:{ Sei $z = a_1\ldots a_k$, $|z|=k>n$. Dann existieren $q_1,\ldots,q_n\in Q$ mit $\delta(q_{i-1},a_i)=q_i$ f"ur $i=1,\ldots k$. Wegen $k>n$ existieren nun mehr Zust"ande des DFA als Zeichen im Wort, es existieren also $i{ \label{the:linear-cap-compl} Dann sind auch $K^c$ und $K \cap L$ rechtslinear. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:linear-cap-compl}:{ Wir zeigen beide Teile der Behauptung: \begin{description} \item[Komplement:] Betrachte den zu $K$ geh"origen DFA $M:=(X,Q,\delta,q_0,F)$. Dann ist auch $M^c:=(X,Q,\delta,q_0,Q\setminus F)$ ein DFA, und er akzeptiert genau $K^c$. Also ist auch $K^c$ rechtslinear. \item[Schnitt:] Man mache sich klar, dass gilt \[K\cap L=(K^c\cup L^c)^c \] womit sich die Aussage aus dem Vorangegangenen ergibt.\qed \end{description} } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Regul"are Ausdr"ucke} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Regul"arer Ausdruck:{ \index{Ausdruck>regul"arer} \label{def:regex} $R$ ist ein regul"arer Ausdruck "uber einem Alphabet $T$, falls \begin{enumerate} \item $R = \emptyset, \lambda, a$ mit $a \in T$ \item $R = (R_1 + R_2)$ mit regul"aren Ausdr"ucken $R_1, R_2$ (Vereinigung) \item $R = (R_1 \cdot R_2)$ mit regul"aren Ausdr"ucken $R_1, R_2$ (Konkatenation) \item $R = (R_1)^*$ mit regul"arem Ausdruck $R_1$ (Sternoperation) \end{enumerate} Eine Sprache $L$ hei"st regul"ar, falls sie von einem regul"aren Ausdruck erzeugt wird. \index{Regul"are Sprache} \index{Sprache>regul"are} } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Regul"are Ausdr"ucke:{ Z.B. $\emptyset, \lambda, a^*, (ab + bb)^*$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark :{ Mit den Ergebnissen aus \ref{sub:complete} erhalten wir: Jede regul"are Sprache ist rechtslinear. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $M=(Q,X,\delta,q_0,F)$ ein DFA, $Q=\{q_0,\ldots,q_n\}$=>{ \label{the:dfa-regular} Dann ist $L(M)$ regul"ar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:dfa-regular}:{ Seien $i,j\in\{0,\ldots,n\}$ beliebig. Setze $R_{ij}:=\{w\mid\delta^*(q_i,w)=q_j\}$. Ist $w\in R_{ij}$ und $q_i,q_{i_1},\ldots,q_{i_l},q_j$ die Abfolge der Zust"ande bei der Akzeption von $w$, so definiere $Q(i,j,w):=\{q_{i_1},\ldots,q_{i_l}\}$. Definiere dann weiterhin \[R_{ij}^k:=\{w\in R_{ij}\mid Q(i,j,w)\cap\{q_k,\ldots,q_n\}=\emptyset\} \] Wir zeigen durch vollst"andige Induktion "uber $k$: $R_{ij}^{n+1}=R^{ij}$ ist rechtslinear. F"ur den Induktionsanfang ($R_{ij}^0$) ist dies klar, denn es gilt $R_{ij}^0\subseteq X$. $k \curvearrowright k + 1$: Es gilt offensichtlich $R_{ij}^{k+1}=R_{ij}^k+R_{ik}^k(R_{kk}^k)^*R_{kj}^k$. Weiterhin ist dieser Ausdruck nach Bildung und Induktionsvoraussetzung regul"ar.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Linearit"at:{ Da die Argumentation von \ref{the:dfa-regular} auch auf linkslineare Sprachen anwendbar ist, erh"alt man: \[\{\text{rechtslineare Sprachen}\}=\{\text{regul"are Sprachen}\}= \{\text{linkslineare Sprachen}\} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Eine "Aquivalenzrelation} \label{sub:regular-equivrel} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Index einer "Aquivalenzrelation:{ \index{"Aquivalenzrelation>Index einer} Sei ``$\sim$'' eine "Aquivalenzrelation. Dann nennt die Anzahl der von $\sim$ erzeugten "Aquivalenzklassen auch den Index von $\sim$, geschrieben $\#\sim$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Charakteristische "Aquivalenzrelation:{ Sei $L\subseteq T^*$ eine Sprache. Dann definiert man f"ur $x,y\in T^*$ \[x\sim_L y:\equiv (\forall z\in T^*)(xz\in L\equiv yz\in L) \] Man kann leicht nachpr"ufen, dass diese Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv, also eine "Aquivalenzrelation ist. Sei $M=(Q,X,\delta,q_0,F)$ ein DFA. Dann definiert man f"ur $x,y\in X^*$ \[x\sim_M y:\equiv \delta^*(q_0,x)=\delta^*(q_0,y) \] Auch diese Relation ist eine "Aquivalenzrelation, ihr Index ist gerade $|Q|$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $L\subseteq T^*$ Sprache=>{ \label{the:regular-equiv} Dann gilt: $L$ regul"ar $\equiv$ Index von $\sim_L$ $<\infty$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:regular-equiv}:{ \begin{description} \item[``$\implies$''] Sei $M=(Q,T,\delta,q_0,F)$ ein DFA mit $L = L(M)$. Dann gilt f"ur alle $x\in T^*$: $x\sim_M y\implies x\sim_L y$. In diesem Sinne ist $\sim_M$ eine Verfeinerung von $\sim_L$, also gilt $\infty>\#\sim_M>\#\sim_L$. \item[``$\Leftarrow$''] Seien $[w_1], \dots, [w_n]$ die "Aquivalenzklassen von $\sim_L$. Wir definieren dann $M:=(Q,X,\delta,q_0,F)$ mit $Q:=\{[w_1],\ldots,[w_n]\}$, $\delta([w_i],x):=[wx]$, $q_0:=[\lambda]$, $F:=\{[w]\mid w\in L\}$. Die Definition von $F$ ist repr"asentantenunabh"angig, denn sei $w_1\sim_L w_2,w_1\in L$. Dann folgt nach Def. $w_1\lambda\in L\equiv w_2\lambda\in L$. Insgesamt erh"alt man $w\in L(M)\equiv w\in L$.\qed \end{description} } % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Wir geben zwei Beispiele f"ur dieses Kriterium an. \begin{enumerate} \item Sei $L := \{a^nb^n \mid n \leq 1\}$. Einige "Aquivalenzklassen von $\sim_L$ sind dann zum Beispiel \begin{itemize} \item $[\lambda] = \{\lambda\}$ \item $[a] = \{a, a^2b, a^3b^2, a^4b^3, \dots\}$ \item $[a^2] = \{a^2, a^3b, a^4b^2, a^5b^3, \dots\}$ \item $[a^3] = \{a^3, a^4b, a^5b^2, a^6b^3, \dots\}$ \end{itemize} Der Index von $\sim_L$ ist offensichtlich unendlich. Folglich ist $L$ nicht regul"ar. \item Sei nun $L := \{w \in \{0, 1\}^+ \mid w \text{ endet mit 00}\}$. Dann sind die s"amtlichen "Aquivalenzklassen von $\sim_L$: \begin{itemize} \item $[\lambda] = \{w \in \{0, 1\}^+ \mid w \text{ endet nicht mit 0}\}$ \item $[0] = \{w \in \{0, 1\}^+ \mid w \text{ endet mit 0, aber nicht mit 00}\}$ \item $[00] = \{w \in \{0, 1\}^+ \mid w \text{ endet mit 00}\}$ \end{itemize} Folglich ist $\{0, 1\}^+ = [\lambda] \cup [0] \cup [00]$, der Index von $\sim_L$ ist also gleich 3, $L$ also regul"ar. \end{enumerate} } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der Minimalautomat} \label{sub:miniauto} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Minimalautomat:{ Sei $L$ eine Sprache. Dann ist der Minimalautomat f"ur diese Sprache derjenige DFA $M=(X,Q,\delta,q_0,F)$ mit minimalem $|Q|$, f"ur den noch gilt $L(M)=L$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Folgerungen aus Abschnitt \ref{sub:regular-equivrel}:{ Unmittelbar kann man beobachten: \begin{itemize} \item Sei $n$ der Index der "Aquivalenzrelation $\sim_L$. Dann hat jeder endliche DFA $M$ mit $L=L(M)$ mindestens $n$ Zust"ande. \item Der "Aquivalenzklassenautomat aus dem Beweis zu \ref{the:regular-equiv} ist minimal. \item Es gibt bis auf Isomorphie nur einen Minimalautomaten f"ur $L$. \item Ein DFA kann durch Verschmelzen von Zust"anden in den Minimalautomaten "uberf"uhrt werden. \end{itemize} Zwei Zust"ande $p,q$ sind nicht verschmelzbar, falls falls es ein $w\in X^*$ gibt mit $\delta^*(p,w)\in F$, aber $\delta^*(q,w)\not\in F$ beziehungsweise falls $\delta^*(p,w)$ und $\delta^*(q,w)$ nicht verschmelzbar sind. Daraus ergibt sich sofort der folgende Minimierungsalgorithmus, der von der Grundsatzidee nur ``Paare von nicht verschmelzbaren Zust"anden anh"auft''. } % ----------------------------------------------------------------------------- \algorithm Minimierung eines DFA:{ \given $M=(X,Q,\delta,q_0,F)$ DFA. \aim Zugeh"origer Minimalautomat $\tilde M=(X,\tilde Q,\tilde\delta,q_0,F)$ \begin{proc} \item Entferne alle Zust"ande, die nicht von $q_0$ aus erreichbar sind. \item Markiere alle Paare $(p,q)\in F\times F^c\cup F^c\times F$. \item Wiederhole, bis keine Markierungen mehr hinzukommen: \begin{itemize} \item F"ur alle unmarkierten Zust"ande $(p,q)\in Q^2$: \begin{itemize} \item Ist $(\delta(p,a),\delta(q,a))$ f"ur ein $a\in X$ markiert, so markiere $(p,q)$. \end{itemize} \end{itemize} \item Verschmelze alle unmarkierten Zustandspaare miteinander. \end{proc} } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Minimierung eines Beispielautomaten:{ Gegeben sei der folgende Automat \input info3_dfa_min_before.epic Im ersten Schritt werden die Paare $(q_0, q_4), (q_1, q_4), (q_2, q_4), (q_3, q_4)$ markiert, also alle Paare, bei denen ein Zustand ein Finalzustand ist, der andere aber nicht. Im zweiten Schritt werden die Paare $(q_0, q_1), (q_0, q_3), (q_1, q_2), (q_2, q_3)$ markiert, da sie auf Zust"ande f"uhren, die als Paar schon markiert sind. Der dritte Schritt bringt keine weiteren Markierungen, also sind wir fertig mit Aussortieren. Wir k"onnen nun beginnen, die verbleibenden Zustandspaare zu verschmelzen. Wir kombinieren $(q_0, q_2)$ zu $q_0q_2$ und $(q_1, q_3)$ zu $q_1q_3$. Der resultierende Minimalautomat ist \input info3_dfa_min_after.epic Erkannt wird in beiden F"allen die Sprache $L =\{w\in\{0,1\}^+\mid w\text{ enth"alt }00\}$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Entscheidbarkeit} \label{sub:decidability} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Produktautomat:{ Seien $M_1=(X,Q_1,\delta_1,q_0,F)$ und $M_2=(X,Q_2,\delta_2,q_0',F)$ DFA'en. Dann hei"st der Automat \[M:=(X,Q_1\times Q_2,(\delta_1,\delta_2),(q_0,q_0'),F\times F') \] der Produktautomat von $M_1$ und $M_2$. Es gilt $L(M)=L(M_1)\cap L(M_2)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Algorithmische Entscheidbarkeit:{ Algorithmisch entscheidbar sind: \begin{itemize} \item Wortproblem: $w\in L$? \item Leerheit: $L=\emptyset$? Ist ein Endzustand von $q_0$ aus erreichbar? \item "Aquivalenz: $L_1=L_2$? Minimalautomaten vergleichen. \item Schnitt: $L_1\cap L_2=\emptyset$? Betrachte hierf"ur den Produktautomaten. \item Endlichkeit: $|L|=\infty$? Hierbei gilt wegen des Pumping-Lemmas (mit dem dortigen $n=|Q|$ des DFA) \[|L| = \infty\equiv(\exists z \in L)(n<|z|\le 2n) \] Wir pr"ufen also nur noch alle Worte der L"ange $l \in (n, 2n]$ auf Zugeh"origkeit zu $L$. \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Kontextfreie Grammatiken} % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Syntaxb"aume} % ----------------------------------------------------------------------------- \example Kontextfreie Grammatik:{ \index{Grammatik>kontextfreie} \index{Ableitungsbaum} \index{Syntaxbaum} Wir betrachten eine Grammatik mit den Produktionen \begin{align*} S &\to 0A\\ A &\to 0AA | 1 \end{align*} Die kontextfreie Ableitung \[S\dderivable 0A\dderivable 00AA\dderivable 000AAA\derivable 000111 \] hat den Syntax oder Ableitungsbaum \input info3_syntree_simple.epic } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Beobachtungen am Syntaxbaum:{ \begin{itemize} \item $S$ ist die Wurzel \item Bl"atter sind Elemente von $T \cup \{\lambda\}$ \item Knoten sind Elemente von $V$ \item Ist \input info3_syntree_part.epic ein Teilbaum, dann gilt $A \to k_1 k_2 \ldots k_n \in P$. \item Zu einem gegebenen Ableitungsbaum ist die Reihenfolge der Ableitungen i.A. nicht eindeutig. \item Zu einem gegebenen Wort aus $L(G)$ mit einer Grammatik $G$ ist die Ableitung i.A. nicht eindeutig. Grammatiken, auf die dieses zutrifft, hei"sen mehrdeutig. \index{Grammatik>mehrdeutige}\index{mehrdeutige Grammatik} \end{itemize} } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Verschiedene B"aume:{ Die beiden letzten Sachverhalte veranschaulicht das folgende Beispiel: \input info3_syntree_unique.epic } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Linksableitung:{ Eine Links- bzw. \indexthis{Rechtsableitung} ist eine Ableitung, bei der die am weitesten links beziehungsweise rechts stehende Variable zuerst ersetzt wird. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Das Pumping-Lemma} \label{sub:ctf-pumping} % ----------------------------------------------------------------------------- \lemma Baumh"ohenlemma: $G=(V,T,S,P)$ eine kontextfreie Grammatik, $m:=\max\{|n|\mid(\exists A\in V)(A\to n\in P)\}$, $z\in L(G)$, Ableitungsbaum von $z$ hat die H"ohe $k$=>{ \label{lem:ctf-tree-height} Dann ergibt sich sofort aus dem Ableitungsbaum: $|z|\le m^k$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Pumping-Lemma (auch $uvwxy$-Theorem): $G=(V,T,S,P)$ kontextfreie Grammatik=>{ \label{the:ctf-pumping} \index{$uvwxy$-Theorem} Dann existiert ein $p\natural$ so, dass f"ur alle $z\in L(G)$ mit $|z|\ge p$ gilt: \begin{multline*} (\exists u,v,w,x,y\in T^*)(z=uvwxy,\\ |vwx|\le p,vx\ne\lambda,(\forall i\nnatural)(uv^iwx^iy\in L(G))) \end{multline*} } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:ctf-pumping}:{ Setze wieder $m:=\max\{|n|\mid(\exists A\in V)(A\to n\in P)\}$, $z\in L(G)$. Setze $p:=m^{|V|+1}$, sei $z\in L(G)$ nun ein Wort mit $|z|\ge p$. Wegen \ref{lem:ctf-tree-height} kann der Ableitungsbaum von $z$ keine H"ohe $h\le|V|+1$ haben, da $z$ sonst gar nicht so lang sein k"onnte. Da nun $h>|V|$, muss im Ableitungsbaum ein Nichtterminal doppelt vorkommen, w"ahle dasjenige Nichtterminal, welches als letztes doppelt vorkommt, dieses sei $A$. Betrachte folgende Abbildung: \begin{center}\input info3_pumping_ctf.epic\end{center} Beachte: $A$ kann in der ersten Ableitung $S\derivable A$ auch schon vorkommen, w"ahle daher $v$ und $x$ so, dass in der Ableitung $A\derivable vAx$ kein weiteres $A$ mehr vorkommt, weiterhin so, dass $vx\ne\lambda$ (dies kann o.B.d.A. verlangt werden, da eine Ableitung $A\derivable A$ nichts zur L"ange beigetragen hat, d.h. unser Wort erf"ullt die Voraussetzungen des Satzes auch nach Entfernung dieser vergeblichen Ableitung noch) Nun gilt: $|vwx|\le p$ aufgrund der Wahl von $v,x$. Offensichtlich sind nun auch $uv^iwx^iy$ mit $i\nnatural\in L(G)$.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Folgerung:{ Die Sprache $L:=\{a^nb^nc^n \mid n > 0\}$ ist nicht kontextfrei. W"ahle $n>p$. Angenommen $uvwxy = a^nb^nc^n$ mit $|vwx| \leq p < n$ sowie $vx \not= \lambda$ und $p$ beliebig. Dann folgt \[vwx \in a^*b^* \text{ oder } b^*c^*\] und somit $uv^2wx^2y \not\in L$. Daraus folgt nach dem Pumping-Lemma, dass $L$ nicht kontextfrei ist. $L$ ist sehr wohl kontextsensitiv, denn die Produktionen \begin{eqnarray*} S & \to & aBC | aSBC\\ CB & \to & BC\\ aB & \to & ab\\ bB & \to & bb\\ bC & \to & bc\\ cC & \to & CC \end{eqnarray*} erzeugen $L$ und sind \emph{erweiternd}. Daher ist $L$ auch kontextsensitiv. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{$\lambda$- und kontextfreie Sprachen} \label{sub:ctf-lang} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G=(V,T,S,P)$ kontextfrei=>{ \label{the:ctf-cts} $L(G)$ kontextsensitiv. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:ctf-cts}:{ Einziges Problem ist hier, dass bei kontextfreien Sprachen Produktionen der Form $A\to\lambda$ zugelassen sind, bei kontextsensitiven jedoch nicht. Seien $P^*:=\{A_1\to\lambda, \dots, A_k \to \lambda\}$ alle $\lambda$-Produktionen in $P$. Setze $P':=P\setminus P^*$. Dann m"ussen wir lediglich f"ur jede Produktion in $P'$, in der mindestens eines von $A_1,\ldots,A_k$ auf einer rechten Seite auftritt, alle M"oglichkeiten ``durchrattern'', die es gibt, die $A_1,\ldots,A_k$ wegzulassen. F"ur jeden solchen ``Ratterschritt'' erzeugen wir eine neue Produktion. Dann ist die so erzeugte neue Produktionenmenge $P''$ gleichwertig mit $P$, aber $\lambda$-frei. Setze weiterhin \[G':=\begin{cases} (V, T, S, P'') & \text{falls } \lambda \not\in L(G)\\ (V \cup \{S'\}, T, S', P'' \cup \{S' \to \lambda | S\}) & \text{sonst} \end{cases} \] Dann ist $G'$ kontextsensitiv mit $L(G) = L(G')$.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Abschlusseigenschaften} \label{sub:ctf-complete} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ \label{the:ctf-no-cap} $L_2$ ist \emph{nicht} abgeschlossen bez"uglich des Schnittes. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:ctf-no-cap}:{ Durch ein Gegenbeispiel. $L_1:=\{a^m b^n c^n\mid m,n\natural\}$ und $L_2:=\{a^n b^n c^m\mid m,n\natural\}$ sind kontextfrei, $L_1\cap L_2=\{a^n b^n c^n\mid n\natural\}$ allerdings nicht.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Abgeschlossenheit gg"u. Komplementbildung:{ Als direkte Folge von \ref{the:ctf-no-cap} und aufgrund der DeMorgan-Regel sind kontextfreie Sprachen bez"uglich des Komplementbildung i.A. nicht abgeschlossen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Die Chomsky-Normalform} \label{sub:chomsky-nf} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Chomsky-Normalform:{ \index{Normalform>Chomsky-} Eine kontextfreie Grammatik ist in \emph{Chomsky-Normalform} (CNF), wenn sie $\lambda$-frei ist und alle ihre Produktionen von folgender Form sind: \begin{itemize} \item $S \to \lambda$ oder \item $A \to BC$ oder \item $A \to a,$ \end{itemize} mit $A, B, C \in V$ sowie $a \in T$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $L=L(G)$ mit $G=(V,T,S,P)$ kontextfrei=>{ \label{the:chomsky-nf} Dann existiert eine Grammatik $G'$ mit $L(G')=L(G)$, wobei $G'$ Chomsky-Normalform besitzt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof Erzeugung der Chomsky-Normalform:{ Durch Angabe eines Algorithmus, wir erzeugen $G'=(V',T,S,P')$. \begin{proc} \item Mache die Grammatik $\lambda$-frei. \item Erzeuge ein neues Nichtterminal $A_a\in V'$ f"ur jedes Terminal $a\in T$, Erg"anze $P'$ um $A_a\to a$. \item Entferne alle "uberfl"ussigen Produktionen der Art $A\to A$ aus $P'$. \item Eliminiere alle Zyklen: F"ur jeden Zyklus $A_1\to A_2\to \cdots\to A_k\to A_1$ eliminiere $A_2,\ldots,A_k$, "andere deren Produktionen so, dass sie statt dessen von $A_1$ ausgehen. \item Eliminiere alle Umwege: Befinden sich noch Produktionen der Art $A\to B\in P'$, wobei $A,B\in V'$, so existieren auch Produktionen $B\to\cdots\to C\to |\alpha|$ mit $|\alpha|\ge 2$. Nimm f"ur alle auf diese Art erzeugbaren $\alpha\in (V\cup T)^*$ die Produktion $A\to w$ in $P'$ auf, wirf daf"ur die Einer-Produktionen weg. \item Eliminiere alle Produktionen $A\to B_1\ldots B_m$ mit $m\ge 3$: Nimm einfach statt ihrer die neuen Nichtterminale $C_1,\ldots,C_{m-2}$ in $V'$ auf, erzeuge folgende Produktionen: \begin{align*} A&\to B_1C_1 \\ C_1&\to B_2C_2\\ &\dots\\ C_{m-2}&\to B_{m-1}B_m \\ \end{align*} \end{proc} Dann ist $G'$ offensichtlich in CNF.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Chomsky-Normalform einer Grammatik:{ Wir betrachten das folgende Beispiel: \begin{eqnarray*} S & \to & AB\\ A & \to & aA | a\\ B & \to & bBc | bc \end{eqnarray*} Wir formen die Grammatik um und erhalten \begin{eqnarray*} S & \to & AB\\ A' & \to & a\\ B' & \to & b\\ C' & \to & c\\ A & \to & A'A | a\\ B & \to & B'C' | B'D\\ D & \to & BC' \end{eqnarray*} } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der Cocke-Kasami-Younger-Algorithmus} % ----------------------------------------------------------------------------- \algorithm Cocke-Kasami-Younger-Algorithmus:{ \index{CKY-Algorithmus} \given $G=(V,T,S,P)$ in CNF, $w\in T^*$ \aim $w=x_1\ldots x_n\in L(G)$? \begin{proc} \item Lege eine Pyramide mit den Zeilen $Y[1,1]\ldots Y[1,n]$, \dots $Y[n,1]$ an, wobei $Y[i,j]\in \cal P(V)$. $Y[i,j]$ wird im Laufe des Algorithmus all diejenigen Nichtterminale enthalten, aus denen $x_j\ldots x_{j+i-1}$ erzeugt werden kann. \item Initialisierung: Schreibe in $Y[1,j]$ jeweils alle Nichtterminale $V$, aus denen $x_j$ $(j=1,\ldots,n)$ erzeugt werden kann. \item F"ur $i=2,\ldots,n$:\begin{itemize} \item F"ur $j=1,\ldots,i$:\begin{itemize} \item F"ur $m=1,\ldots,i-1$:\begin{itemize} \item Untersuche alle Produktionen der Form $A\to BC\in P$: Ist $B\in Y[m,j]$ ($\implies$ $m$ lang, gleicher Offset) und $C\in Y[i-m,j+m]$ ($\implies$ $i-m$ lang, um $m$ nach rechts verschobener Offset), so erg"anze $Y[i,j]$ um $A$. \end{itemize} \end{itemize} \end{itemize} \item Ist nun $S\in Y[n,1]$, so gilt $w\in L(G)$. \end{proc} \cpx $O(n^3)$ } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Der CKY-Algorithmus ist ein Bottom-up-Algorithmus. Aus der vom CKY-Algorithmus erzeugten Pyramide kann man s"amtliche m"oglichen Ableitungsb"aume eines Wortes ablesen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Wir betrachten als Beispiel die Grammatik mit den Produktionen \begin{eqnarray*} S & \to & AB | BB\\ A & \to & AB | CC | a\\ B & \to & CA | BB | b\\ C & \to & BA | AA | b \end{eqnarray*} und fragen, ob $x_1x_2x_3x_4 := aabb \in L(G)$ gilt. Dazu bauen wir die Pyramide auf: \input info3_cky_pyramid.epic Es ist zu sehen, da"s gilt $S \in \text{Zelle } (4, 1)$. Es folgt also, da"s $aabb \in L(G)$! Im Beispiel gibt es nur einen Syntaxbaum: \input info3_cky_syntree.epic } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Entscheidbarkeit} % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Sei $G=(V,T,S,P)$ eine kontextfreie Grammatik in CNF. Dann sind in polynomieller Zeit l"osbar: \begin{description} \item[Wortproblem:] Gilt $w \in L(G)$? Diese Frage kann der CKY-Algorithmus beantworten. \item[Leerheit:] Gilt $L(G) = \emptyset$? Der folgende Algorithmus bestimmt alle Variablen, aus denen Worte ableitbar sind: \begin{proc} \item $U:=\emptyset\subseteq V$ \item $U':=\{A\in V\mid (\exists t\in T)(A\to t\in P)\}\subseteq V$ (alle Nichtterminale, die in einem Schritt Terminale erzeugen) \item Solange $U\ne U'$: \begin{itemize} \item $U:=U'$ \item $U':=\{A\in V\mid (\exists B,C\in U)(A\to BC \in P)\}$ \end{itemize} \item $S\in U\equiv L(G)\ne\emptyset$ \end{proc} Die Nichtterminale in $V\setminus U$ sind nutzlos und k"onnen r"uckstandsfrei entfernt werden. \item[Endlichkeit:] Gilt $|L(G)| = \infty$? Enthalte $V$ keine nutzlosen Variablen. Der folgende Algorithmus bestimmt alle Variablen, die nur endliche Worte $w \in T^*$ erzeugen. \begin{proc} \item $U:=\emptyset\subseteq V$ \item Setze \begin{multline*} U':=\{A\in V\mid (\exists t\in T)(A\to t\in P)\}\cap\\ \{A\in V\mid (\forall B,C\in V)(A\to BC\not\in P)\}\subseteq V \end{multline*} (alle Nichtterminale, die in einem Schritt \emph{nur} Terminale erzeugen) \item Solange $U\ne U'$: \begin{itemize} \item $U:=U'$ \item $U':=U\cup \{A\in V\mid (\exists B,C\in U)(A\to BC\in P)\}$ \end{itemize} \item $S\in U\equiv |L(G)|=\infty$ \end{proc} Erl"auterung: Der Trick an diesem Algorithmus ist, dass er in $U$ keine Nichtterminale aufnimmt, die unendliche W"orter erzeugen, also Produktionen wie $A\to BC,C\to BA$ mit $B\to b$, und zwar deswegen, weil der Algorithmus nur strikte ``Bottom-up''-Konstruktion zul"asst, ein Nichtterminal, das Dinge produziert, die noch nicht bekannt (d.h. $\in U$) sind, wird nicht zugelassen (d.h. in $U$ gesteckt). \end{description} } % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Wir wollen nun als Beispiel eine Grammatik mit den Produktionen \begin{eqnarray*} S &\to& AD | BC\\ B &\to& BC\\ D &\to& FE | b\\ F &\to& AD\\ A &\to& a\\ E &\to& b | c \end{eqnarray*} Die Produktionen $S \to BC$ und $B \to BC$ sind nutzlos, da das Nichtterminal $C$ nicht in ein Terminal umgewandelt werden kann. Die beiden Produktionen k"onnen also gestrichen werden. \paragraph{Nutztest:} Wir wollen nun bestimmen, ob $G$ "uberhaupt eine Sprache erzeugt. Dazu wenden wir Algorithmus 1 an. Wir notieren die Ergebnisse in Tabellenform. \begin{center} \begin{tabular}[c]{c|c} Durchlauf & $U$ \\\hline 0 & $\emptyset$\\ 1 & $\{A, D, E\}$\\ 2 & $\{S, F, A, D, E\}$\\ 3 & $\{S, F, A, D, E\}$ \end{tabular} \end{center} Nach Ablauf des Algorithmus ist das Startsymbol $S$ in $U$ enthalten. Es folgt also $L \not= \emptyset$. \paragraph{Endlichkeitstest:} Weiterhin betrachten wir den Index von $L$. Hierzu verwenden wir Algorithmus 2; hierbei ist zu beachten, da"s nutzlose Produktionen aus der Grammatik zu entfernen sind, wie wir es getan haben. \begin{center} \begin{tabular}{c|c} Durchlauf & $U$ \\\hline 0 & $\emptyset$\\ 1 & $\{A, E\}$\\ 2 & $\{A, E\}$ \end{tabular} \end{center} Hier ist nach Beendigung des Algorithmus das Startsymbol $S$ nicht in $U$ enthalten. Es folgt also $|L| = \infty$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \penalty-5000 \subsection{Einfache Kellerautomaten} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Einfacher Kellerautomat:{ \index{Kellerautomat>einfacher} \insertpic{info3_pda} Seien $T$ ein Eingabe-, $\Gamma\supseteq T$ ein Kelleralphabet, $S\in\Gamma$ und $\delta:T\cup\{\lambda\}\times\Gamma\to\cal P(\Gamma^*)$ eine "Ubergangsfunktion, deren Ergebnismenge immer h"ochstens endlich sein darf. Dann nennt man $M=(T,\Gamma,\delta,S)$ einen einfachen Kellerautomaten. Ein Tupel $K:=(a_i\ldots a_n,A_k\ldots A_1)\in T^*\times\Gamma^*$ hei"st \indexthis{Konfiguration} des Automaten. Eine Konfiguration $K$ eines einfachen Kellerautomaten kann mehrere Nachfolgekonfiguationen haben, einfache Kellerautomaten sind demzufolge nach Definition nichtdeterministisch. Ausgehend von dieser Konfiguration werden aufgrund der Zustands"ubergangsfunktion $\delta$ m"ogliche Nachfolgekonfigurationen ermittelt: \begin{itemize} \item $(a_{i+1}\ldots a_n,A_{k-1}\ldots A_1)$ ist m"ogliche Nachfolgekonfiguration, falls $\lambda\in\delta(a_i,A_k)$ \item $(a_i\ldots a_n,\alpha A_{k-1}\ldots A_1)$ ist m"ogliche Nachfolgekonfiguration, falls $\alpha\in\delta(\lambda,A_k)$ mit $\alpha\in\Gamma^*$. \end{itemize} F"ur die "Uberf"uhrung von Konfigurationen in andere schreibt man wie gehabt $K\dderivable K', K\derivable K'$. Die vom Kellerautomaten akzeptierte Sprache ist \[L(M):=\{w\in T^*\mid (w,S)\derivable (\lambda,\lambda)\} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G=(V,T,S,P)$ kontextfreie Grammatik=>{ \label{the:ctf->spda} Dann existiert ein einfacher Kellerautomat $M=(T,\Gamma,\delta,S)$ mit $L(M)=L(G)$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:ctf->spda}:{ Betrachte die obige Definition mit $\Gamma:=V\cup T$ und die direkte Analogie zwischen den M"oglichkeiten f"ur die $\delta$-Funktion und den M"oglichkeiten f"ur Produktionen in kontextfreien Sprachen.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $M=(T,\Gamma,\delta,S)$ einfacher Kellerautomat=>{ \label{the:spda->ctf} $L(M)$ ist kontextfreie Sprache. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:spda->ctf}:{ Betrachte die obige Definition mit $V:=\Gamma\setminus T$ und die direkte Analogie zwischen den M"oglichkeiten f"ur Produktionen in kontextfreien Sprachen und den M"oglichkeiten f"ur die $\delta$-Funktion.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Im Gegensatz zum CKY-Algorithmus f"uhrt ein einfacher Kellerautomat eine Top-Down-Analyse durch. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Greibach-Normalform:{ Jede kontextfreie Grammatik kann in eine "aquivalente Grammatik umgeformt werden mit Produktionen der Form \[A\to aB_1\dots B_k,a\in T\cup\{\lambda\}, A,B_1,\dots,B_k \in V \] Ist $\lambda\not\in L(G)$, so kann $G$ auch in \indexthis{Greibach-Normalform} "uberf"uhrt werden. Alle Produktionen sind dann von der Form \[A\to aB_1\dots B_k,a\in T,A,B_1,\dots,B_k\in V \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Allgemeine Kellerautomaten} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Allgemeiner Kellerautomat:{ \index{Kellerautomat>allgemeiner} \index{PDA} \index{push-down automaton} Sei $Q$ eine endlichen Zustandsmenge, $T$ ein Eingabealphabet, $\Gamma$ ein Kelleralphabet, $\delta:Q\times T\cup\{\lambda\}\times\Gamma\to \cal P(Q)\times\cal P(\Gamma^*)$ eine Zustands"ubergangsfunktion, deren Ergebnismenge h"ochstens endlich sein darf, $q_0\in Q$ ein Anfangszustand und $S\in\Gamma$ ein Start-Kellerzeichen. Dann nennt man $M=(Q,T,\Gamma,\delta,q_0,S)$ einen allgemeinen Kellerautomaten. Ein Tripel $K:=(q,a_i\ldots a_n,A_k\ldots A_1)\in Q\times T^*\times\Gamma^*$ hei"st \indexthis{Konfiguration} des Automaten. Eine Konfiguration $K$ eines einfachen Kellerautomaten kann mehrere Nachfolgekonfiguationen haben, einfache Kellerautomaten sind demzufolge nach Definition nichtdeterministisch. Ausgehend von dieser Konfiguration werden aufgrund der Zustands"ubergangsfunktion $\delta$ m"ogliche Nachfolgekonfigurationen ermittelt: \begin{itemize} \item $(q',a_{i+1}\ldots a_n,A_{k-1}\ldots A_1)$ ist m"ogliche Nachfolgekonfiguration, falls $(q',\lambda)\in\delta(q,a_i,A_k)$ \item $(q',a_i\ldots a_n,\alpha A_{k-1}\ldots A_1)$ ist m"ogliche Nachfolgekonfiguration, falls $(q',\alpha)\in\delta(q,a_i,A_k)$ mit $\alpha\in\Gamma^*$. \end{itemize} F"ur die "Uberf"uhrung von Konfigurationen in andere schreibt man wie gehabt $K\dderivable K', K\derivable K'$. Die vom Kellerautomaten akzeptierte Sprache ist \[L(M):=\{w\in T^*\mid (q_0,w,S)\derivable (q,\lambda,\lambda) (q\in Q)\} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $M=(Q,T,\Gamma,\delta,q_0,S)$ PDA=>{ \label{the:pda->ctf} Dann ist $L(M)$ kontextfrei. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:pda->ctf}:{ Sei $V:=\{{}^pA^q \mid A \in\Gamma,p,q\in Q\}\cup \{S'\}$. Die Menge der Produktionen gewinnt man so: \begin{multline*} P:=\{S'\to {}^{q_0}S^q\mid q\in Q\}\cup \{{}^{p}A^{q}\to a{}^{p}B_1^{p_1}{}^{p_1}B_2^{p_2}\ldots {}^{p_{k}}B_i^{q}\mid\\ p_1,\ldots,p_k\in Q,(q,B_1B_2\ldots B_i)\in\delta(p,a,A) \} \end{multline*} Dann ist mit $G:=(V,T,S',P)$ gerade $L(G)=L(M)$.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Damit ergibt sich, dass PDAs mit einfachen Kellerautomaten gleichwertig sind. Sie sind eine Verallgemeinerung, bringen allerdings keine gr"o"seren M"oglichkeiten. Man kann allerdings zus"atzliche Endzust"ande einf"uhren: \[L(M) := \{w \in T^* \mid (q_0,w,S) \derivable (q, \lambda,\lambda) \text{ mit } q\in F\subseteq Q\} \] Es gibt Sprachen, die durch deterministische Kellerautomaten \emph{mit} $F$, aber nicht \emph{ohne} $F$ erkannt werden. PDA mit $F$ erkennen also nicht zwingend alle kontextfreien Sprachen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Typ 1-und Typ 0-Sprachen} % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Erweiternde Grammatiken} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Erweiternde Grammatik:{ \index{Grammatik>erweiternde} Sei $G=(V,T,S,P)$ eine Grammatik. $G$ hei"st erweiternd $:\equiv$ f"ur $u\to v\in P$ gilt $|u|\le|v|$. Die Produktion $S\to\lambda$ ist zul"assig, falls $S$ auf keiner rechten Seite einer Produktion vorkommt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $L$ Sprache=>{ \label{the:expand<->ctf} Es existiert eine kontextsensitive Grammatik $G=(V,T,S,P)$ mit $L(G)=L$ $\equiv$ es existiert eine erweiternde Grammatik $G'=(V',T,S,P')$ mit $L(G')=L$ } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:expand<->ctf}:{ Die Richtung ``$\implies$'' ist nach Definition klar. Wir zeigen ``$\Leftarrow$'': Das Problem ist, dass bei einer kontextsensitiven Grammatik nur immer ein Nichtterminal in etwas aus $(V\cup T)^*$ wechseln darf, w"ahrend bei erweiternden Grammatiken nur Aussagen "uber die L"ange getroffen sind. Zun"achst ersetze alle Terminale $a\in T$ durch neue Nichtterminale $A_a$. Schreibe $V$ aus $V'$ entsprechend um, erg"anze $P:=P'\cup\{A_a\to a\mid a\in T\}$. Dies behebt mit dem Holzhammer die M"oglichkeit f"ur Produktionen der Art $abc\to cde$ (d.h. nur Terminale), die im kts Fall ebenfalls nicht zul"assig sind. Um nun eine beliebige erweiternde Produktion $A_1\ldots A_m\to B_1\ldots B_n\in P$ in eine kontextsensitive Produktion umzuwandeln, f"uhre neue Nichtterminale $C_1,\ldots,C_{m-1}$ ein und ersetze die alte Produktion durch die folgenden neuen: \begin{align*} A_1\ldots A_m &\to C_1A_2\ldots A_m\\ C_1A_2\ldots A_m &\to C_1C_2A_3\ldots A_m\\ &\ldots\\ C_1\ldots C_{m-1}A_m &\to C_1\ldots C_{m-1}B_mB_{m+1}\ldots B_n\\ C_1\ldots C_{m-1}B_mB_{m+1}\ldots B_n &\to C_1\ldots C_{m-2}B_{m-1}B_mB_{m+1}\ldots B_n\\ C_1\ldots C_{m-2}B_{m-1}B_mB_{m+1}\ldots B_n &\to C_1\ldots C_{m-3}B_{m-2}B_mB_{m-1}\ldots B_n\\ &\ldots\\ C_1B_2\ldots B_n &\to B_1\ldots B_n \end{align*} Damit ist die Behauptung gezeigt.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \penalty-5000 \subsection{Turingmaschinen} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Turingmaschine:{ \insertpic{info3_turing} Sei $Q$ eine Zustandsmenge, $F\subseteq Q$ eine Endzustandsmenge, $q_0\in Q$ der Anfangszustand, $\Gamma$ ein Bandalphabet, $X\subseteq \Gamma$ ein Eingabealphabet, $\Box\in\Gamma$ das Leer- bzw. Bandzeichen und $\delta:Q\times\Gamma\to Q\times\Gamma\times\{L,R,N\}$ eine Zustands"ubergangsfunktion. Dann hei"st das Septupel $M=(Q,F,q_0,\Gamma,X,\Box,\delta)$ eine Turingmaschine. Ein Tripel $K:=(\alpha,q,\beta)\in \Gamma^*\times Q\times\Gamma^*$ hei"st eine Konfiguration der Turingmaschine, die gleiche Konfiguration wird auch durch $(\Box\alpha,q,\beta\Box)$ beschrieben. Wie "ublich verwenden wir die Symbolik $K\dderivable K'$, $K\derivable K'$ f"ur den Konfigurations"ubergang. Sei z.B. $\delta(q,x)=(p,y,L)$. Dann wird auf dem Band an die Stelle des $x$ ein $y$ geschrieben, in den Zustand $p$ gewechselt und der Kopf eine Stelle nach links gesetzt. Die von einer Turingmaschine akzeptierte Sprache ist \[L(M):=\{w\in X^*\mid (\lambda,q_0,w)\derivable(\alpha,q,\beta), q\in F\} \] Das Band einer Turingmaschine darf beliebig lang werden, die anf"angliche Eingabe muss jedoch endlich sein. Turingmaschinen gibt es in den Geschmacksrichtungen deterministisch bzw. nichtdeterministisch und unbeschr"ankt bzw. linear beschr"ankt. In letzterem Fall hei"st die Maschine auch \indexthis{LBA} wie ``linear bounded automaton''. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G=(V,T,S,P)$ kontextsensitive Grammatik=>{ \label{the:cts->lba} $L(G)$ wird durch einen LBA erkannt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:cts->lba}:{ O.B.d.A. $\lambda\not\in L(G)$. Setze $\Gamma:=T\cup V$, Wir programmieren die Turingmaschine so, dass sie sich (nichtdeterministisch) beliebig ein $v$ mit $u\to v\in P$ auf dem Band ausw"ahlt, dieses durch $u$ ersetzt und im Falle $|u|<|v|$ die Eingabe nach rechts zusammenschiebt. Die Turingmaschine geht in einen Endzustand, falls am Schluss nur noch $S$ auf dem Band steht. Wegen der Eigenschaft $|u|\le|v|$ f"ur $u\to v\in P$ ist die Turingmaschine linear beschr"ankt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Analog zeigt man, dass Typ 0-Sprachen von unbeschr"ankten Turingmaschinen erkannt werden. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $M=(Q,F,q_0,\Gamma,X,\Box,\delta)$ LBA=>{ \label{the:lba->ctf} Dann ist $L(M)$ kontextsensitiv. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:lba->ctf}:{ Zu einem gegebenen LBA geben wir eine Grammatik $G$ an mit $L(M)=L(G)$ Setze $T:=X$, \begin{multline*} V:=\{S,A\}\cup(\Gamma^2)\cup(Q\Box\Box\Gamma^2)\cup(\Box\Box Q\Gamma^2)\cup\\ (Q\Gamma^2\Box\Box)\cup(\Gamma^2Q\Box\Box)\cup(\Box\Box\Gamma^2)\cup (\Gamma^2\Box\Box) \end{multline*} Dabei dienen die speziellen $(*\Box*)$-Nichtterminale (anhand ihrer L"ange von den anderen unterscheidbar) lediglich dazu, den linken und rechten Rand f"ur den die ``Pseudo-Lesekopfposition'' anzeigenden Zustand un"uberwindlich zu machen. Wir erzeugen folgende Arten von Produktionen: \begin{itemize} \item Produktionen, um jede beliebige Anfangskonfiguration den Turingmaschine zu erzeugen: \begin{align*} \{S&\to A(aa\Box\Box)\mid a\in X\}\\ \{A&\to A(\Box\Box q a a)|A(aa)\mid q\in Q,a\in X\} \end{align*} \item Produktionen, um jeden m"oglichen $\delta$-"Ubergang zu simulieren. \begin{align*} \{(\Box\Box qxa)&\to(p\Box\Box ya),\\ (\Box\Box zb)(qxa)&\to(\Box\Box pzb)(ya),\\ (zb)(qxa)&\to(pzb)(ya),\\ (zb)(qxa\Box\Box)&\to(pzb)(ya\Box\Box)\mid \delta(q,x)=(p,y,L),z\in\Gamma\} \cup \\ \{(xaq\Box\Box)&\to(pxa\Box\Box)\mid \delta(q,\Box)=(p,y,L)\} \end{align*} wobei die rechts- und neutrall"aufigen "Uberg"ange analog gebildet werden. \item Produktionen, um das schlussendlich akzeptierte Wort aus dem Backup an den jeweils zweiten Stellen zu rekonstruieren. Wir stellen sicher, dass nur dann ein Terminalwort entsteht, wenn ein Endzustand vorliegt, indem wir nur in diesem Fall die Umwandlung des Nichtterminals mit dem gegenw"artigen ``Lesekopf'' zulassen: \begin{align*} \{(q\Box\Box xa)&\to a,\\ (\Box\Box qxa)&\to a,\\ (qxa)&\to a,\\ (qxa\Box\Box)&\to a,\\ (xaq\Box\Box)&\to a,\\ (xa)&\to a,\\ (\Box\Box xa)&\to a,\\ (xa\Box\Box)&\to a\mid q\in F,x,a\in X\} \end{align*} \end{itemize} Insgesamt ergibt sich dann mit $G=(V,X,S,P)$ mit obiger Produktionenmenge $P$ eine kontextsensitive Grammatik mit $L(G)=L(M)$. \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Indem man in obigem Beweis auch das Schreiben "uber die Bandgrenzen hinaus zul"asst, und die entsprechenden Backup-Bandzeichen dann zu $\lambda$s umwandelt, erh"alt man, dass allgemeine Turingmaschinen Sprachen des Typs $0$ erkennen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Deterministische Turingmaschinen} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $M=(Q,F,q_0,\Gamma,X,\Box,\delta)$ nichtdet. Turingmaschine=>{ \label{the:tm-det-nondet} Dann existiert eine deterministische Turingmaschine $M'$ mit $L(M)=L(M')$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:tm-det-nondet}:{ Indem man die deterministische Turingmaschine in einer Art Timesharing f"ur jede Konfiguration der nichtdeterministsichen Maschine jeweils Einzelschritte durchf"uhren l"asst.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Es ist unbekannt, ob nichtdeterministische LBA in deterministische LBA umgewandelt werden k"onnen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \penalty-5000 \subsection{Abschlussseigenschaften} % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Zusammenfassung:{ Es sind abgeschlossen unter folgenden Operationen:\\ \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline & $\cdot,\cup,*$ & $\cap$ & ${}^c$ \\ \hline Typ 0 & \yes & \yes & \no \\ Typ 1 & \yes & \yes & \yes \\ Typ 2 & \yes & \no & \no \\ Typ 3 & \yes & \yes & \yes \\ \hline \end{tabular}\end{center} } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Das Halteproblem} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition G"odelnummer:{ Zum Beispiel durch zeichengebundene Kodierung der formalen Festlegung einer Turingmaschine in einem $n$-adischen System und anschlie"sende Darstellung der Kodierung $a_0,\ldots, a_j$ als Zahl \[q:=\sum_{k=0}^j a_k n^k \] erh"alt man eine Nummer f"ur jede Turingmaschine, genannt deren G"odelnummer bzgl. eines festen Kodierungssystems. Diese Zuordnung ist offensichtlich nicht zwingend surjektiv (d.h. es existieren Zahlen, zu denen es keine Turingmaschine gibt) und auch nicht zwingend eindeutig (es exisitieren mehrere Kodierungen f"ur eine Turingmaschine), aber injektiv. Surjektivit"at und Eindeutigkeit stellt man durch folgende zwei Konventionen wieder her: \begin{itemize} \item Als das Urbild einer Zahl, der auf bisherige Weise keine Turingmaschine zugeordnet war, betrachten wir die triviale endlos laufende Turingmaschine. \item Man definiert sich eine gewisse Normalform f"ur die Kodierung von Turingmaschinen. \end{itemize} Da unsere Zuordnung mit diesen Ver"anderungen bijektiv ist, definieren wir $M_i$ als die Turingmaschine mit der Nummer $i$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Berechenbarkeit:{ Eine partielle Funktion $f:\SetNN\to\SetNN$ hei"st berechenbar $:\equiv$ Es existiert ein $i\nnatural$ so, dass f"ur $M_i$ folgendes gilt: Betrachte das erste Eingabezeichen $x_i$ von $M_i$ nach dem Bandzeichen. Man l"asst $M_i$ mit der Eingabe \[\underbrace{x_ix_i\ldots x_i}_{n\text{-mal}} \] laufen, und es muss gelten: \begin{itemize} \item $M_i$ h"alt an mit genau $k$ $x_i$'s auf dem Band $\equiv$ $f(n)=k$ und \item $M_i$ h"alt nicht an $\equiv$ $f(n)$ ist undefiniert ($f(n)=\bot$). \end{itemize} Schreibweise: $f=\phi_i$. Bei Funktionen, die ``Ja/Nein''=0/1-Antworten liefern sollen, spricht man auch von Entscheid- oder L"osbarkeit. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Die Funktion $\halt$:{ Wir definieren \[\halt(i):=\begin{cases} 1 & \phi_i(i)\downarrow \\ 0 & \phi_i(i)\uparrow \\ \end{cases} \] (Notation: $\downarrow$ = ``TM beendet mit Ausgabe'', $\uparrow$ = ``TM l"auft endlos'') } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ \label{the:halt-computable} $\halt$ ist nicht berechenbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:halt-computable}:{ Annahme: $\halt$ berechenbar. Definiere: \[\delta(i):=\begin{cases} \bot & \phi_i(i)\downarrow \\ 1 & \phi_i(i)\uparrow \\ \end{cases} \] Elementar (auf der Ebene von Turingmaschinen) "uberlegt man sich, dass dann auch $\delta$ berechen bar ist. Es existiert also ein $j\nnatural$ so, dass $\phi_j\ident\delta$, also f"ur $\phi_j(j)$ gilt \[\phi_j(j)=\begin{cases} \bot & \phi_j(j) \downarrow\\ 1 & \phi_j(j)\uparrow \\ \end{cases} \] Widerspruch! \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Das Wortproblem} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ \label{the:type0-nondecidable} Das Wortproblem ist f"ur Sprachen des Typs 0 nicht entscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:type0-nondecidable}:{ Wir k"onnen das Halteproblem auf das Typ 0-Wortproblem reduzieren. \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ \label{the:type1-decidable} Das Wortproblem ist f"ur Sprachen des Typs 1 entscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:type1-decidable}:{ $G=(V,T,S,P)$ sei eine Typ 1-Grammatik. Anhand des folgenden Algorithmus kann das Wortproblem f"ur das Wort $w$ entschieden werden: \begin{proc} \item $M:=\emptyset,M':=\{S\}$ \item Solange $M\ne M'$ \begin{itemize} \item $M:=M'$ \item $M':=M\cup \{\beta\mid\alpha\dderivable\beta,\alpha\in M,|\beta|\le|w|\}$ \end{itemize} \item $w\in L(G)\equiv w\in M$. \end{proc} \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Das Post'sche Korrespondenzproblem} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Post'sches Korrespondezproblem:{ Ein \indexthis{Postsystem} "uber einem endlichen Alphabet $X$ ist eine Menge \[\left\{\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\right\} \subset X^* \times X^*\] $i_1, \dots, i_k$ ist eine L"osung des Postsystems, falls gilt \[x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_k}\] Das Postsche Korrespondenzproblem, auch \indexthis{Postian Correspondence Problem} oder \emph{PCP}, besteht darin, eine solche L"osung zu finden. } % ----------------------------------------------------------------------------- \example Zwei Beispiel-Postsysteme:{ Das Postsystem \[\left\{\begin{pmatrix}1\\01\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\lambda\\11\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0101\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}111\\\lambda\end{pmatrix}\right\} \subset X^* \times X^*\] hat eine L"osung $x_2 x_1 x_1 x_3 x_2 x_4 = 110101111 = y_2 y_1 y_1 y_3 y_2 y_4$. Die k"urzeste L"osung f"ur das Postsystem \[\left\{\begin{pmatrix}001\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}01\\011\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}01\\101\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}10\\001\end{pmatrix}\right\} \subset X^* \times X^*\] besteht aus 66 Indizes. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G=(V,T,S,P)$ Grammatik=>{ \label{the:derivable<->pcp} Dann existiert f"ur jedes Wort $w\in L(G)$ ein Postsystem $K(w)$ mit \[K(w)\text{ l"osbar}\equiv w\in L(G)\text{ l"osbar} \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:derivable<->pcp}:{ Wir konstruieren $K$ "uber $X := V \cup V' \cup T \cup T' \cup \{*, *', [, ]\}$, wobei $y'$ eine (unterscheidbare) Kopie von $y$ bezeichnet. $K$ bestehe aus \[\left\{ \begin{pmatrix}[S*\\{}[\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}]\\{} *'w]\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}]\\{} *w']\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a\\a'\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a'\\a\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}v\\u'\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}v'\\u\end{pmatrix} \mid a \in X, u \to v \in P \right\} \] Jede L"osung hat zwingend folgende Gestalt: \[\left(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} [S* & w_1' & *' & w_2 &\dots & * & w' & ]\\{} [ & S & * & w_1' & \dots & *' & w_n & (* w'|*' w)] \end{array}\right) \] d.h. man kann aus ihr eine Ableitungskette \[S\dderivable w_1'\dderivable w_2 \dderivable \cdots \dderivable w \] ablesen. \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Berechenbarkeit von L"osungen des PCP:{ W"are das Postsche Korrespondenzproblem l"osbar, so w"are auch das Wortproblem l"osbar. Das Wortproblem ist nicht l"osbar, also ist auch das PCP nicht entscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Entscheidbarkeit bei Grammatiken} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G=(V,T,S,P)$ eine Typ-2-Grammatik=>{ \label{the:ctf-unique} Es ist nicht entscheidbar, ob $G$ nur eindeutige Ableitungen hat. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:ctf-unique}:{ Wir beweisen die Aussage durch Reduktion des PCP auf das Eindeutigkeitsproblem. Sei nun \[\left\{\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\right\}\] ein Postsystem "uber $K$. Wir betrachten weiter die kontextfreie Grammatik \begin{eqnarray*} S &\to& A | B\\ A &\to& x_1 A 1 | x_2 A 2 | \dots | x_n A n | \lambda\\ B &\to& y_1 B 1 | y_2 B 2 | \dots | y_n B n | \lambda \end{eqnarray*} Die erzeugten Worte sind von der Form \[x_{i_1} \dots x_{i_k} i_k \dots i_1 \text{ oder } y_{i_1} \dots y_{i_k} i_k \dots i_1\] $G$ hat mehr als eine Ableitung f"ur ein einziges Wort genau dann, wenn das PCP l"osbar ist. Das PCP ist aber nicht entscheidbar, also ist auch das Eindeutigkeitsproblem entscheidbar.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem:=>{ \label{the:ctf-cut-nondecidable} Das Schnittproblem ist f"ur kontextfreie Sprachen unentscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:ctf-cut-nondecidable}:{ Wir beweisen die Aussage durch Reduktion des PCP auf das Schnittproblem. Sei nun \[\left\{\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\right\}\] ein Postsystem "uber $K$. Wir betrachten weiter die kontextfreie Grammatik \begin{eqnarray*} S &\to& A|B\\ A &\to& x_1 A 1 | x_2 A 2 | \dots | x_n A n | x_1 1 | x_2 2 | \dots x_n n\\ B &\to& y_1 B 1 | y_2 B 2 | \dots | y_n B n | y_1 1 | y_2 2 | \dots y_n n \end{eqnarray*} Dann sind \[L_1 := \{\text{aus $A$ ableitbare Worte}\}, L_2 := \{\text{aus $B$ ableitbare Worte}\} \] kontextfreie Sprachen, und Elemente aus $L_1 \cap L_2$ sind eine L"osung des PCP. W"are das Schnittproblem entscheidbar, dann auch das PCP. Dies ist nicht der Fall, also ist das Schnittproblem nicht entscheidbar.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Kontextfreie Sprachen mit kontextfreien Komplementen:{ Bei kontextfreien Sprachen mit kontextfreien Komplementen ist das Schnittproblem ebensowenig entscheidbar, da die Grammatik in obigem Beweis eine Sprache mit kontextfreiem Komplement erzeugt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Folgerung:{ Das Schnittproblem ist f"ur Sprachen des Typs $i\le 2$ nicht entscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G=(V,T,S,P)$ kontextsensitiv=>{ \label{the:cts-emptiness-nondecidable} $L(G)=\emptyset$ ist nicht entscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:cts-emptiness-nondecidable}:{ Wir reduzieren das Schnittproblem f"ur kontextsensitive Grammatiken auf die Leerheit einer kontextsensitiven Grammatik und nehmen ohne Beweis an, dass der Schnitt zweier kontextsensitiven Sprachen wieder kontextsensitiv ist. Dann gilt \[L(G) = \emptyset \equiv L(G) \cap L(G) = \emptyset \] Das Schnittproblem ist nicht entscheidbar, also ist auch die Leerheit nicht entscheidbar.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G_1=(V_1,T,S_1,P_1)$,$G_2=(V_2,T,S_2,P_2)$ kontextfrei=>{ \label{the:ctf-equiv-nondecidable} $L(G_1)=L(G_2)$ ist nicht entscheidbar. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:ctf-equiv-nondecidable}:{ Seien $L_1,L_2$ kontextfreie Sprachen mit kontextfreiem Komplement. (deren Schnittproblem ist, wie oben gezeigt, nicht entscheidbar) W"are das Gleichheitsproblem entscheidbar, so k"onnte man den Schnitt aber wegen $L_1\cap L_2=\emptyset\equiv L_1\cup L_2^c=L_2^c$ entscheiden. Also ist die Gleichheit f"ur ktf Sprachen mit ktf Komplementen nicht entscheidbar, deswegen erst recht nicht f"ur allgemeine ktf Sprachen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Fixpunkttheorie} % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Halbordnung:{ \index{Ordnung>partielle} Eine Relation ``$\le$'' auf einer Menge $M$ hei"st Halb- oder \indexthis{Teilordnung} bzw. \indexthis{partielle Ordnung} $:\equiv$ \begin{stmts} \item $(\forall x\in M)(x\le x)$ (Reflexivit"at) \item $(\forall x,y,z\in M)(x\le y,y\le z\implies x\le z)$ (Transitivit"at) \item $(\forall x,y,z\in M)(x\le y,y\le x\implies x=y)$ (Antisymmetrie) \end{stmts} $(M,\le)$ hei"st dann eine halbgeordnete Menge. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Kleinstes Element:{ \index{Element>kleinstes} Sei $(M,\le)$ eine halbgeordnete Menge. Dann hei"st $k\in M$ kleinstes Element von $M$ $:\equiv$ $k\le x$ f"ur alle $x\in M$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Obere Schranke:{ \index{Schranke>obere} Sei $(M,\le)$ eine halbgeordnete Menge. Dann hei"st $o\in M$ obere Schranke von $T\subseteq M$ $:\equiv$ $x\le o$ f"ur alle $x\in T$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Supremum:{ $s\in M$ hei"st Supremum von $T\subseteq M$ $:\equiv$ $s$ ist kleinste obere Schranke von $T$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark Eindeutigkeit:{ Suprema sind eindeutig. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Kette:{ Sei $(M,\le)$ eine halbgeordnete Menge. Eine Folge $(x_i)_{i=1}^\infty\subseteq M$ hei"st Kette $:\equiv$ $x_i\le x_{i+1}$ f"ur $i\ge 1$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Vollst"andige halbgeordnete Menge:{ \index{Menge>vollst"andige halbgeordnete} Sei $(M,\le)$ eine halbgeordnete Menge. $M$ hei"st vollst"andig $:\equiv$ \begin{stmts} \item Es existiert ein kleinstes Element in $M$. \item Jede Kette in $M$ hat ein Supremum in $M$. \end{stmts} } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Stetige Funktion:{ \index{Funktion>stetige} Seien $(A,\le),(B,\le)$ vollst"andige halbgeordnete Mengen. Dann hei"st $f: A \to B$ stetig, $\equiv$ f"ur jede Kette $(x_i)_{i=1}^\infty\subseteq A$ gilt \[\sup_{i=1}^\infty f(x_i) = f(\sup_{i=1}^\infty x_i) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \remark:{ Im analytischen Sinne sind unsere stetigen Funktionen monoton wachsend und linksseitig stetig auf abgeschlossenen Intervallen. } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Monotone Funktion:{ \index{Funktion>monotone} Seien $(A,\le),(B,\le)$ halbgeordnete Mengen. Dann hei"st $f: A \to B$ monoton, $\equiv$ f"ur alle $x,y\in A$ mit $x\le_A y$ gilt auch $f(x)\le_B f(y)$ } % ----------------------------------------------------------------------------- \lemma: $(A, \leq),(B,\le)$ vollst"andige halbgeordnete Mengen, $f:A\to B$ stetig=>{ \label{the:cont-mono} Dann ist $f$ monoton. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:cont-mono}:{ Sei $a\le_A b$ in $A$. Betrachte $x_1:=a$, $x_2:=x_3\ldots:=b$. $f$ ist stetig, woraus folgt $\sup_n f(x_n)=f(\sup_n x_n)=f(b)$ Also gilt $f(a)=f(x_1)\le f(b)$.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Fixpunkt:{ Sei $(A,\leq)$ eine vollst"andige halbgeordnete Menge und $f:A\to A$ eine Abbildung. $a \in A$ hei"st Fixpunkt von $f$ $:\equiv$ $f(a)=a$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem Kleene'scher Fixpunktsatz: $(A,\le)$ vollst"andige halbgeordnete Menge, $f:A\to A$ stetig=>{ \label{the:kleene-fix} Sei $m$ das kleinste Element von $A$. Dann ist $\sup_{n\natural} f^n(m)$ der kleinste Fixpunkt von $f$. Insbesondere existiert mindestens ein Fixpunkt. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:kleene-fix}:{ Wir zeigen zun"achst, dass $\sup f^n(m)$ existiert: \[m\leq f(m)\implies f(m)\leq f^2(m)\implies\ldots\implies f^n(m)\le f^{n+1}(m) \] Also ist $(f^n(m))_{n\natural}$ eine Kette. Es folgt direkt die Existenz des Supremums. Weiter zeigen wir: Das Supremum von $f^n(m)$ ist ein Fixpunkt: \[f(\sup(f^n(m))) = \sup(f^{n + 1}(m)) = \sup(f^n(m)) \] Und schlie"slich zeigen wir, dass $\sup f^n(m)$ kleinster Fixpunkt ist, angenommen $c\in A$ sei ein kleinerer Fixpunkt: \[m\le c\implies f(m)\le f(c)=c \implies\ldots\implies f^n(m) \le f(c)=c \] \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Der Fixpunktsatz} % -------------------------------------------------------------------------- \remark Kurzschreibweise von Wortmengen:{ Analog zu den regul"aren Ausdr"ucken schreiben wir z.B. \[a\{b,c\}d:=\{abd,acd\} \] Beachte: \[a\emptyset d:=\emptyset \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \definition Funktion einer kontextfreien Grammatik:{ Sei $G=(V,T,A_1,P)$ mit $V=\{A_1,\ldots,A_n\}$ und \[P=\{A_i\to a_{i1},\ldots,a_{ik_i}\mid i=1,\ldots,n, a_{ij}\in (T\cup V)^*\} \] eine kontextfreie Grammatik. Definiere \[g_i:\cal P(T^*)^n\to\cal P(T^*) \] mit $g_i(M_1,\ldots,M_n):=\overline{a_{i1}}\cup\ldots\cup\overline{a_{ik_i}}$. Ist z.B. $a_{ik}=\alpha A_j\beta$, so ist $\overline{a_{ik}}:=\alpha M_j \beta$. Beachte: $a_{ik}$ ist eine Zeichenkette, $\overline{a_{ik}}$ ist eine Menge. Dann hei"st $g:=(g_1,\ldots,g_n)$ die Funktion der kontextfreien Grammatik $G$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \convention{ Ab hier betrachten wir als Teilordnung die Ordnung ``$\subseteq$'' auf Mengen $M\in\cal P(T^*)$ "uber einem Alphabet $T$: $M\le N:\equiv M\subseteq N$. F"ur Tupel $(M_1,\ldots,M_n)\in\cal P(T^*)^n$ von solchen Mengen gelte dabei die Ordnung \[(M_1,\ldots,M_k)\le(N_1,\ldots,N_k):\equiv (\forall i\in\{1,\ldots,k\})(M_i\le N_i) \] } % ----------------------------------------------------------------------------- \lemma:=>{ \label{lem:fun-cont-comp} Eine zusammengesetzte Funktion ist stetig $\equiv$ ihre Komponentenfunktionen sind stetig. } % ----------------------------------------------------------------------------- \lemma:=>{ \label{lem:fun-ctf-cont} Die Funktion einer kontextfreien Grammatik ist stetig. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{lem:fun-ctf-cont}:{ Wegen \ref{lem:fun-cont-comp} muss nur noch die Stetigkeit einer Komponentenfunktion $g_i$ gezeigt werden. Sei $(M^{(k)})_{k=1}^\infty=(M_1^{(k)},\ldots,M_n^{(k)})_{k=1}^\infty$ eine Kette. Zu zeigen ist $g_i(\sup_k M^{(k)})=\sup_k g_i(M^{(k)})$. Mit den Bezeichnungen aus der Definition von $g$ gilt: \begin{align*} w\in g_i(\sup_k M^{(k)}) \equiv &w\in g_i(\sup_k(M_1^{(k)},\ldots,M_n^{(k)}))\\ \equiv &w\in g_i(\sup_k M_1^{(k)},\ldots,\sup_k M_n^{(k)})\\ \equiv &(\exists j\in\{1,\ldots,k_i\})(w\in\overline{a_{ij}} \overset{\text{z.B.}}= \alpha(\sup_k M^{(k)}_l)\beta) \\ \equiv &(\exists k\natural)(\exists j\in\{1,\ldots,k_i\})(w\in\overline{a_{ij}} \overset{\text{z.B.}}= \alpha(M^{(k)}_l)\beta)\\ \equiv &(\exists k\natural)(w\in g_1(M^{(k)})) \equiv w\in \sup_k g_1(M^{(k)}) \end{align*} \qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $G=(V,T,S,P)$ eine kontextfreie Grammatik, $g$ die Funktion dazu=>{ \label{the:fix} Sei dann \[L_i:=\{w\in T^*\mid A_i\derivable w,A_i\in V\}\qquad i=1,ldots,n \] also z.B. $L_1=L(G)$, falls $A_1=S$. Dann ist $(L_1,\ldots,L_n)$ der kleinste Fixpunkt von $g$. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:fix}:{ Offenbar ist $\emptyset\in\cal P(T^*)$ das Minimum von $\cal P(T^*)$ bez"uglich der Teilmengenordnung. Weiter ist \[\sup_k g(\emptyset,\ldots,\emptyset)=(L_1,\ldots,L_n) \] und damit ergibt sich nach \ref{the:kleene-fix} sofort die Behauptung.\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \subsection{Gleichungssysteme} % ----------------------------------------------------------------------------- \theorem: $A,B\in\cal P(T^*)$, $T$ Alphabet=>{ \label{the:les} F"ur das Gleichungssystem $X=AX+B$ ist $A^*B$ die kleinste L"osung. } % ----------------------------------------------------------------------------- \proof \ref{the:les}:{ Wir betrachten einfach $g(X)=AX+B$. Der kleinste Fixpunkt ist \[\sup_k g^k(\emptyset)=B+AB+A^2B+A^3B+\cdots=A^*B \] Hallelujah!\qed } % ----------------------------------------------------------------------------- \example:{ Sei $G := (\{A_1, A_2\}, \{a, b\}, A_1, P)$ mit \[P := A_1 \to aA_1 | bA_2 | a, A_2 \to aA_1 | aA_2 | b \] Wir haben also gegeben \begin{eqnarray*} x_1 &=& ax_1 + bx_2 + a\\ x_2 &=& ax_1 + ax_2 + b \end{eqnarray*} mit $x_1, x_2 \in \mathcal{P}((a+b)^*)$. Es folgt nach Satz \ref{the:les} \[x_1 = a^*(bx_2 + a),\] woraus weiter folgt \[x_2 = a^+(bx_2 + a) + ax_2 + b = a^+bx_2 + ax_2 + aa^+b = (a^+b + a)x_2 + aa^+ + b\] Erneutes Anwenden von Satz \ref{the:les} ergibt \[x_2 = (a^+b + a)^*(aa^+ + b)\] Einsetzen f"uhrt auf \[x_1 = a^*(b(a^+b + a)^*(aa^+ + b) + a) = a^*b(a^+b + a)^*(aa^+ + b) + a^+\] Also folgt \[L(G) = a^*b(a^+b + a)^*(aa^+ + b) + a^+\] } % ----------------------------------------------------------------------------- \section{Syntaxanalyse} % ----------------------------------------------------------------------------- info3-source/info3_disclaimer.tex0000644000175000017500000000351010377450234017146 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- \section*{Disclaimer} Diese Vorlesungsmitschrift ist urspr"unglich nicht zur Ver"offentlichung bestimmt gewesen. Ich habe sie f"ur meinen eigenen Bedarf angefertigt, um zum einen gezwungen zu sein, mich mit dem Vorlesungsstoff nochmals auseinanderzusetzen, zum zweiten, damit ich eine leserliche Fassung meines Mitschriebs habe (meine Handschrift ist f"urchterlich), und zum dritten, um in \TeX\ beziehungsweise \LaTeX\ in der "Ubung zu bleiben. Ich kann jedem nur w"armstens empfehlen, ihre oder seine Mitschrift ebenfalls zuhause abzutippen, denn dann liegt zun"achst einmal der Aufschrieb in einfach zu vervielf"altigender und weiterzuverarbeitender beziehungsweise ver"anderbarer Form vor, weiterhin ist aber auch schon gew"ahrleistet, da"s man sich inhaltlich mit dem Stoff nochmals auseinandergesetzt hat, insbesondere dann, wenn man versucht, inhaltliche und typographische Struktur und Form in die Sache zu bringen und eventuell noch einiges in eigene Worte zu fassen. Erst dann merkt man, wie gut oder wie schlecht man den Stoff tats"achlich verstanden hat. Ich hoffe, da"s mein Mitschrieb nicht nur mir n"utzlich ist. Sollten Fehler auftauchen, was unweigerlich der Fall sein wird, so bitte ich um eine entsprechende R"uckmeldung, damit ich die Fehler korrigieren kann. Aber auch so freue ich mich "uber jedes Feedback. Klar sein d"urfte, da"s ich keinerlei Garantie f"ur die Richtigkeit dieser Mitschrift "ubernehmen kann. Viel Spa"s und viel Erfolg beim Informatik-Lernen! Karlsruhe, den \today\hfill \textsl{Tobias Dussa} (\verb~s_dussa@ira.uka.de~) \section*{Credits} Ich bedanke mich hiermit f"ur die Unterst"utzung und Mithilfe von (in alphabetischer Reihenfolge): \begin{itemize} \item Christian Ceelen, \item Stefan Kreckwitz, \item Roland Schleip, \item Thomas Schmelter sowie \item Marcus V"olp. \end{itemize} \newpage info3-source/aufschrieb.tex0000644000175000017500000004517510377450234016064 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- % Various definitions for ``aufschrieb'' package % ----------------------------------------------------------------------------- % (c) iXiONmedia 98/99 ak % ----------------------------------------------------------------------------- \documentclass[titlepage,a4paper,twoside,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \makeindex \def\aufschriebblurb{ Ge\TeX t von Andreas Kl{\"o}ckner (ak@ixion.net). F{\"u}r Kommentare und Berichtigungen bin ich jederzeit dankbar. Neue Versionen gibt es unter \mbox{http://www.ixion.net/ak/aufschrieb}. \vskip0.4cm Copyright (c) 2000 Andreas Kl\"ockner. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, with the Front-Cover Texts being the first two paragraphs of this title page, and with no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled ``GNU Free Documentation License''. } \def\aufschriebbody#1#2{ \pagestyle{fancy} \lhead[\thepage]{\leftmark} \rhead[]{\thepage} \def\headrulewidth{0.4pt} \cfoot{} \tableofcontents \newpage #1 \appendix #2 \section{GNU Free Documentation License} {\tiny Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other written document ``free'' in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others. This License is a kind of ``copyleft'', which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software. We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as ``you''. A ``Modified Version'' of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language. A ``Secondary Section'' is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The ``Invariant Sections'' are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. The ``Cover Texts'' are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A ``Transparent'' copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. A copy that is not ``Transparent'' is called ``Opaque''. Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML produced by some word processors for output purposes only. The ``Title Page'' means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, ``Title Page'' means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. 3. COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies of the Document numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. D. Preserve all the copyright notices of the Document. E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. H. Include an unaltered copy of this License. I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. } \printindex } info3-source/blatt.tex0000644000175000017500000000215110377450234015042 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,a4paper,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \hoffset -1in \voffset -1in \textwidth 470pt \textheight 700pt \headwidth 470pt \include{math} \newenvironment{blatt}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{\"Ubungsblatt #2 im Fach #1 $\cdot$ Andreas Kl\"ockner $\cdot$ 992330 } \begin{minipage}{8cm} {\Large\bfseries #1 } \"Ubungsblatt #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl\"ockner \\ Matr: 992330 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } \newcounter{aufgabe} \newenvironment{aufgabe}{ {\bfseries Aufgabe \arabic{aufgabe}.}\par \addtocounter{aufgabe}{1} }{\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{teilnr} \newenvironment{teile}{ \begin{list}{\alph{teilnr})}{\usecounter{teilnr}} }{ \end{list} } \def\dieskipich{\addtocounter{aufgabe}{1}}info3-source/homework.tex0000644000175000017500000000225510377450234015574 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,fleqn]{article} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{epsfig} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \textwidth 470pt \headwidth 470pt \textheight 9in \hoffset -0.8in \voffset-0.3in \include{math} \newenvironment{homework}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{Homework #2 for #1 $\cdot$ Andreas Kl{\"o}ckner $\cdot$ 999044514 } \begin{minipage}{10cm} {\Large\bfseries #1 } Homework #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl{\"o}ckner \\ SID: 999044514 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } \newenvironment{exercise*}[1] {{\bfseries Exercise #1.}\par} {\par\rule{\textwidth}{0.5pt}\par} \newcounter{exercise} \newenvironment{exercise} {\begin{exercise*}{\arabic{exercise}} \addtocounter{exercise}{1}} {\end{exercise*}} \newcounter{partno} \newenvironment{parts}{ \begin{list}{\alph{partno})}{\usecounter{partno}} }{ \end{list} } \def\skipthisone{\addtocounter{exercise}{1}}info3-source/macros.tex0000644000175000017500000002033410377450234015223 0ustar andreasandreas% -*- LaTeX -*- % ----------------------------------------------------------------------------- % Various helpful definitions % ----------------------------------------------------------------------------- % (c) iXiONmedia 98/99 ak % ----------------------------------------------------------------------------- \usepackage{ifthen} \usepackage{color} \nonstopmode \parindent=0pt \raggedbottom \parskip=\medskipamount \makeatletter % Register definitions -------------------------------------------------------- \newcounter{nochap} \newcounter{notheorem} \newcounter{nodefinition} \newcounter{stmtid} \newboolean{annotate} \newboolean{prove} \setboolean{annotate}{true} \setboolean{prove}{true} % Abbreviations --------------------------------------------------------------- \let\phi=\varphi \let\epsilon=\varepsilon \let\rho=\varrho \let\theta=\vartheta \def\stack(#1;#2){\genfrac{.}{.}{0pt}{}{\scriptstyle #1}{\scriptstyle #2}} \def\tstack(#1;#2){$\stack(\text{#1};\text{#2})$} \def\arcsinh{\operatorname{arcsinh}} \def\arccosh{\operatorname{arccosh}} \def\arccot{\operatorname{arccot}} \def\id{\operatorname{id}} \def\det{\operatorname{det}} \def\grad{\operatorname{grad}} \def\rot{\operatorname{rot}} \def\exp{\operatorname{exp}} \def\rank{\operatorname{rank}} \def\Spur{\operatorname{Spur}} \def\Kern{\operatorname{Ker}} \def\Bild{\operatorname{Bild}} \def\sinc{\operatorname{sinc}} \def\DFT{\operatorname{DFT}} \def\ord{\operatorname{ord}} \def\ggT{\operatorname{ggT}} \def\kgV{\operatorname{kgV}} \def\degree#1{\operatorname{deg} #1} \def\FT{\mathcal{F}} \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} % Import from T. Dussa: Info 3 Skript ----------------------------------------- \def\GL{\operatorname{GL}} \def\Aut{\operatorname{Aut}} \def\bij{\operatorname{bij.}} \def\rg{\operatorname{rg}} \def\diag{\operatorname{diag}} \def\kopf{\operatorname{kopf}} \def\first{\operatorname{first}} \def\follow{\operatorname{follow}} \def\Anf{\operatorname{Anf}} \def\SLL{\operatorname{SLL}} \def\LL{\operatorname{LL}} \def\SLR{\operatorname{SLR}} \def\LR{\operatorname{LR}} \def\LK{\operatorname{LK}} \def\korrekt{\operatorname{korrekt}} \def\kompakt{\operatorname{kompakt}} \def\halt{\operatorname{halt}} \def\total{\operatorname{total}} \def\Quad{\operatorname{quad}} \def\anw{\operatorname{anw}} \def\naechste{\operatorname{naechste}} \def\Dom{\operatorname{Dom}} \def\injto{\hookrightarrow} \def\surto{\twoheadrightarrow} \def\bijto{\overset{\sim}{\longrightarrow}} \def\ot{\gets} \def\NP{\textit{NP}} \def\SAT{\textit{SAT}} % End of import from T. Dussa: Info 3 Skript ---------------------------------- \def\SetN{\mathbb N} \def\SetZ{\mathbb Z} \def\SetQ{\mathbb Q} \def\SetR{\mathbb R} \def\SetC{\mathbb C} \def\limes#1->#2{\lim\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limesinf#1->#2{\liminf\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limessup#1->#2{\limsup\limits_{\raise1.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle #1\to #2$}}} \def\limn{\limes n->\infty} \def\liminfn{\limesinf n->\infty} \def\limsupn{\limessup n->\infty} \def\sumn#1{\sum_{n=#1}^\infty} \def\limx#1{\limes x->{#1}} \def\fsum{{\sum\nolimits'}} \def\norm#1{{\left\| #1\right\|}} \def\fnorm#1{{\left|\left|\left|#1\right|\right|\right|}} \def\product#1{{\left\langle#1\right\rangle}} \def\iprod#1#2{{\left\langle #1,#2 \right\rangle}} \def\rim#1{\partial{#1}} \def\inner#1{{#1}^\circ} \def\closure#1{\overline{#1}} \def\qed{\hfill$\Box$} \long\def\ifnotempty#1#2{{% \setbox9=\hbox{#1}% \ifdim\wd9>1pt #2\fi% }} \def\insertpic#1{ \begin{center}\input #1.epic \end{center} } \def\insertfig#1{ \begin{center}\input #1.pstex_t \end{center} } \def\indexthis#1{\index{#1}#1} \def\lint{\mathchoice {\rlap{\hskip0.2em$\underline{\phantom{A}}$}} {\rlap{\hskip0.1em$\underline{\phantom{\scriptstyle A}}$}} {OH-SORRY.} {OH-SORRY.} \int } \def\uint{\mathchoice {\rlap{\hskip0.5em$\overline{\phantom{A}}$}} {\rlap{\hskip0.2em$\overline{\phantom{\scriptstyle A}}$}} {OH-SORRY.} {OH-SORRY.} \int } % sections and numbering ------------------------------------------------------ \def\resetcounters{ \setcounter{notheorem}{0} \setcounter{nodefinition}{0} } \def\para#1{ \section{#1} \resetcounters } \def\thepara{\thesection} % special frames -------------------------------------------------------------- \long\def\mathtitle#1#2{ \pagestyle{fancy} \def\headrulewidth{0pt} \cfoot{} { \vskip5cm \hrule height 1pt width 17 cm \vskip0.5mm \hrule height 0.25pt width 17 cm \vskip.25cm {\Huge \bfseries\hfill #1}\\ \hrule height 0.25pt width 17 cm \vskip0.5mm \hrule height 1pt width 17 cm \vskip 2cm \hfill\begin{minipage}{8cm} #2 \end{minipage} } \newpage } \def\framedmsg#1{ \hrule height 0.25pt \hfil #1\hfil\break \hrule height 0.25pt } % mathpar ---------------------------------------------------------------- % #1 Heading % #2 Caption % #3 Text \definecolor{mathgray}{gray}{0.8} \definecolor{mathbgray}{gray}{0.9} \newlength{\ix@temp@boxwidth} \newlength{\ix@temp@boxwidtha} \hbadness 11000 \long\def\mathpar#1#2#3{ \settowidth{\ix@temp@boxwidth}{\strut\sffamily #1}% \setlength{\ix@temp@boxwidtha}{\textwidth}% \addtolength{\ix@temp@boxwidtha}{-\ix@temp@boxwidth}% \addtolength{\ix@temp@boxwidtha}{-12pt}% \colorbox{mathgray}{\strut\sffamily #1}% \colorbox{mathbgray}{\strut\makebox[\ix@temp@boxwidtha][l]{\sffamily #2}}% {\protected@edef\@currentlabel{#1} \nobreak\par\nobreak #3\par\vspace{5pt} } } % convention ------------------------------------------------------------------ % #1 Text \long\def\convention#1{ \mathpar{Konvention f{\"u}r Kapitel 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\newenvironment{stmts}{ \begin{list}{(\thestmtid)}{\usecounter{stmtid}} }{ \end{list} } \newenvironment{displaytext}{ \begin{quote} }{ \end{quote} } info3-source/uebungsblatt.tex0000644000175000017500000000215710377450234016441 0ustar andreasandreas\documentclass[oneside,a4paper,fleqn]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \hoffset -1in \voffset -1in \textwidth 470pt \textheight 700pt \headwidth 470pt \include{macros} \newenvironment{blatt}[2]{ \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyfoot[C]{\"Ubungsblatt #2 im Fach #1 $\cdot$ Andreas Kl\"ockner $\cdot$ 992330 } \begin{minipage}{8cm} {\Large\bfseries #1 } \"Ubungsblatt Nr. #2 \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} \begin{flushright} \today \\ Andreas Kl\"ockner \\ Matr: 992330 \\ \end{flushright} \end{minipage}\par \rule{\textwidth}{1pt} }{ } 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Typesetting A: The \TeX book", publisher = "American Mathematical Society und Addison-Wesley Publishing Company", edition = "11", year = "1991" } @BOOK{aho, author = "Alfred V. Aho and Jeffrey D. Ullman", title = "Informatik --- Datenstrukturen und Konzepte der Abstraktion", publisher = "International Thomson Publishing GmbH", edition = "1", year = "1996" } @BOOK{knuth1, author = "Donald Ervin Knuth", title = "The Art of Computer Programming --- Volume I: Fundamental Algorithms", publisher = "Addison Wesley Longman", edition = "3", year = "1997" } @BOOK{knuth2, author = "Donald Ervin Knuth", title = "The Art of Computer Programming --- Volume II: Seminumerical Algorithms", publisher = "Addison Wesley Longman", edition = "3", year = "1997" } @BOOK{kopka, author = "Helmut Kopka", title = "\LaTeX: Eine Einf"uhrung Band 1", publisher = "Addison-Wesley (Deutschland) GmbH", edition = "1", year = "1994" } @BOOK{companion, author = "Michel Goossens and Frank Mittelbach and Alexander Samarin", title = "Der \LaTeX-Begleiter", publisher = "Addison-Wesley (Deutschland) GmbH", edition = "1", year = "1994" } @BOOK{manber, author = "Udi Manber", title = "Introduction to Algorithms --- A Creative Approach", publisher = "Addison Wesley Longman", edition = "1", year = "1996" } @BOOK{unixNutshell, author = "Daniel Gilly", title = "UNIX in a Nutshell", publisher = "O'Reilly/International Thomson Verlag GmbH \& Co KG", edition = "1", year = "1995" } @BOOK{illuminatus, author = "Robert J. Shea and Robert Anton Wilson", title = "The Illuminatus! Trilogy", publisher = "Dell Publishing", edition = "2", year = "1988" } @BOOK{geb, author = "Douglas R. Hofstadter", title = "G"odel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid", publisher = "Vintage Books", year = "1980" } @BOOK{thhgttg, author = "Douglas Adams", title = "The More Than Complete Hitchhiker's Guide to the Galaxy --- Complete and Unabridged", publisher = "Longmeadow Press", year = "1991" } @BOOK{thhgttgMostlyHarmless, author = "Douglas Adams", title = "Mostly Harmless", publisher = "Pan Books", year = "1993" } @BOOK{bronstein, author = "Il'ja Nikolaevi\v{c} Bron\v{s}tejn and Konstantin Adol'fovi\v{c} Semendjaev", editors = "Doz. Dr. G. Grosche and Dr. V. Ziegler and D. Ziegler", title = "Taschenbuch der Mathematik", publisher = "Verlag Harri Deutsch", edition = "21", year = "1984" } @BOOK{bronsteinZusatz, author = "Il'ja Nikolaevi\v{c} Bron\v{s}tejn and Konstantin Adol'fovi\v{c} Semendjaev", editors = "Doz. Dr. G. Grosche and Dr. V. Ziegler and D. Ziegler", title = "Taschenbuch der Mathematik: Erg"anzende Kapitel", publisher = "Verlag Harri Deutsch", edition = "4", year = "1986" } @BOOK{randAlgo, author = "Motwani and Raghawan", title = "Randomized Algorithms", publisher = "Springer-Verlag", year = "1995" } info3-source/README0000644000175000017500000000345310377450234014100 0ustar andreasandreas(C) 2000 Andreas Kloeckner (ak@ixion.net) http://www.ixion.net/ak/aufschrieb ------------------------------------------------------------------------------- Einkaufszettel ------------------------------------------------------------------------------- Die folgenden Programme sind erforderlich: * LaTeX2e (mit AMSLaTeX, Babel und FancyHeaders) * makeindex>=2.13 * dvips ------------------------------------------------------------------------------- Installation auf Unix ------------------------------------------------------------------------------- Alles in ein Verzeichnis untar'en, Make-Kommando eintippen, warten, fertig. Das Makefile ist darauf eingerichtet, alle Teile (I/II/III...) in einem Verzeichnis zu halten und gleichzeitig zu bauen. Es unterstuetzt die folgenden Targets: (Ersetze durch "info", "ana" etc.) make clean Distributionsverzeichnis von abhaengigen Dateien saeubern make mrproper _WIRKLICH_ sauber machen (loescht auch Editor-Backups) make setup Distributionsverzeichnis vorbereiten (erforderlich nach Neuinstallation, clean oder mrproper) make (all|1.dvi|2.dvi|...) als DVI bauen make (allps|.ps|.dvi|...) als Postscript bauen make distribution Tarballs zur Ueberspielung auf den Server erzeugen ------------------------------------------------------------------------------- Installation auf DOS/Windows ------------------------------------------------------------------------------- C:\> latex 1/2/... C:\> makeidx 1/2/... -g -s german.sty C:\> latex 1/2/... C:\> 1/2/... ------------------------------------------------------------------------------- Lizenz ------------------------------------------------------------------------------- GNU Free Documentation License. Siehe COPYING. info3-source/COPYING0000644000175000017500000004327510377450234014261 0ustar andreasandreas GNU Free Documentation License Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other written document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others. This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software. We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language. A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque". Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML produced by some word processors for output purposes only. The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. 3. COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies of the Document numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. D. Preserve all the copyright notices of the Document. E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. H. Include an unaltered copy of this License. I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. ADDENDUM: How to use this License for your documents To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page: Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License". If you have no Invariant Sections, write "with no Invariant Sections" instead of saying which ones are invariant. If you have no Front-Cover Texts, write "no Front-Cover Texts" instead of "Front-Cover Texts being LIST"; likewise for Back-Cover Texts. If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software. info3-source/Makefile0000644000175000017500000000104110377450234014647 0ustar andreasandreas.PHONY: setup distribution all clean mrproper psall all: info1.pdf info2.pdf info3.pdf distribution: info1.dist.tar info2.dist.tar info3.dist.tar source: info1-source.tar.gz info2-source.tar.gz info3-source.tar.gz setup: if [ -f info1.tex ]; then latex info1; fi if [ -f info2.tex ]; then latex info2; fi if [ -f info3.tex ]; then latex info3; fi info1.dvi: info1.tex latex info1 info2.dvi: info2.tex info2_*.tex info2.ind latex info2 info3.dvi: info3.tex info3_*.tex info3.ind latex info3 dist_add=info3.bib include make.rules info3-source/make.rules0000644000175000017500000000315010377450234015203 0ustar andreasandreasifndef dist_add dist_add= endif ifndef 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